PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 da UFPR 2011

1ª fase · Matemática: Função exponencial

Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula

P = (100 - a) \cdot b^t + a,

sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para um certo estudante, com a = 20 e b = 0{,}5 , o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28\% será:

  1. A
    entre uma e duas semanas.
  2. B
    entre duas e três semanas.
  3. C
    entre três e quatro semanas.
  4. D
    entre quatro e cinco semanas.
  5. E
    entre cinco e seis semanas.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Basta substituir os valores na fórmula e isolar o expoente t.

  1. Com a = 20, b = 0{,}5 e P = 28:
28 = (100 - 20)\cdot 0{,}5^t + 20
  1. Subtraia 20 dos dois lados:
8 = 80\cdot 0{,}5^t
  1. Divida por 80:
0{,}5^t = \frac{8}{80} = \frac{1}{10}

  1. Como 0{,}5 = \frac{1}{2}, temos \left(\frac{1}{2}\right)^t = \frac{1}{10}, ou seja, 2^t = 10.

  2. Agora é só localizar t entre potências inteiras de 2:

2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4

Logo 3 < t < 4. Com logaritmo: t = \log_2 10 = \frac{1}{\log 2} \approx \frac{1}{0{,}301} \approx 3{,}32 semanas.

O tempo necessário está entre três e quatro semanas.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEm 1 a 2 semanas 2^t fica entre 2 e 4, bem abaixo de 10; o percentual ainda seria maior que 28%.
  • BEm 2 a 3 semanas 2^t vai só de 4 a 8, sem chegar a 10.
  • DPara t entre 4 e 5, 2^t está entre 16 e 32, passando de 10; o percentual já teria caído abaixo de 28%.
  • EEntre 5 e 6 semanas 2^t está entre 32 e 64, muito além de 10.

Assunto: Função exponencial.

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Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno 1ª fase da UFPR 2011

Fonte: UFPR 2011 · 1ª fase. Prova oficial ↗