PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 da UFPR 2011

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada.

Plano cartesiano com eixos x e y mostrando uma rampa que parte da origem (0, 0) e passa pelo ponto Q de coordenadas (10, 5). Um balão de ar quente está localizado no ponto de coordenadas (20, 20). Duas cordas partem da base do balão: uma até o ponto Q e outra até o ponto P, situado mais adiante sobre a rampa. A corda que liga o balão ao ponto P é perpendicular à rampa, indicado pelo símbolo de ângulo reto.

Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:

  1. A
    (21, 7).
  2. B
    (22, 8).
  3. C
    (24, 12).
  4. D
    (25, 13).
  5. E
    (26, 15).
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Resolução comentada

A rampa passa pela origem e por Q(10, 5), então seu coeficiente angular é m = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} e sua reta é y = \frac{x}{2}.

A corda do balão B(20, 20) até P é perpendicular à rampa. Duas retas perpendiculares têm coeficientes angulares com produto -1, então o coeficiente da corda é -2.

Equação da corda, passando por B(20, 20):

y - 20 = -2(x - 20) \Rightarrow y = -2x + 60

P é a interseção da corda com a rampa:

  1. Igualamos: \frac{x}{2} = -2x + 60.
  2. Multiplicamos por 2: x = -4x + 120.
  3. Logo 5x = 120 e x = 24.
  4. Então y = \frac{24}{2} = 12.

Conferência: P(24, 12) está à direita de Q e abaixo do balão, como na figura. O vetor de P a B é (-4, 8), e o vetor da rampa é (2, 1); o produto escalar é -8 + 8 = 0, confirmando a perpendicularidade.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO ponto (21, 7) não pertence à rampa y = x/2, pois 21/2 \neq 7.
  • BO ponto (22, 8) não está sobre a rampa, pois 22/2 = 11 \neq 8.
  • DO ponto (25, 13) não está sobre a rampa, pois 25/2 = 12{,}5 \neq 13.
  • EO ponto (26, 15) não está sobre a rampa, pois 26/2 = 13 \neq 15.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: UFPR 2011 · 1ª fase. Prova oficial ↗