PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 da UFPR 2011

1ª fase · Matemática: Equação do 2º grau

Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:

  1. A
    R$ 55,00.
  2. B
    R$ 60,00.
  3. C
    R$ 65,00.
  4. D
    R$ 70,00.
  5. E
    R$ 75,00.
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Resolução comentada

Chame de p o preço em dezembro e de n o número de perfumes vendidos em dezembro.

O total arrecadado é preço vezes quantidade. Isso dá duas equações:

  1. Dezembro: p \cdot n = 900
  2. Janeiro: o preço cai para p-10 e a quantidade sobe para n+5, então (p-10)(n+5) = 1000

Desenvolvendo a segunda:

pn + 5p - 10n - 50 = 1000

Como pn = 900:

900 + 5p - 10n - 50 = 1000 \Rightarrow 5p - 10n = 150 \Rightarrow p - 2n = 30

Assim, p = 30 + 2n. Para achar n, substitua na primeira equação:

(30+2n)\,n = 900 \Rightarrow 2n^2 + 30n - 900 = 0 \Rightarrow n^2 + 15n - 450 = 0

Discriminante: \Delta = 225 + 1800 = 2025, e \sqrt{2025}=45.

n = \frac{-15 + 45}{2} = 15

(a raiz negativa não serve).

Então p = 30 + 2\cdot 15 = 60.

Conferindo: dezembro, 60 \cdot 15 = 900. Janeiro, 50 \cdot 20 = 1000. Está correto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom R$ 55,00 a quantidade não é inteira em dezembro (900/55) e as equações não fecham.
  • CR$ 65,00 não divide 900 em quantidade inteira e não satisfaz p-2n=30.
  • DR$ 70,00 não divide 900 em quantidade inteira; não satisfaz as duas condições.
  • ECom R$ 75,00 seriam 12 perfumes, mas então janeiro daria 65·17 = 1.105, não 1.000.

Assunto: Equação do 2º grau.

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Fonte: UFPR 2011 · 1ª fase. Prova oficial ↗