PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 da UFPR 2010

1ª fase · Matemática: Equação do 2º grau

A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83\ \text{cm}^2. Qual é a área do quadrado maior?

Três quadrados adjacentes com as bases alinhadas: o menor à esquerda, o maior no centro e o intermediário à direita. Uma seta vertical indica 4 cm entre o topo do quadrado menor e o topo do maior; outra indica 2 cm entre o topo do quadrado da direita e o topo do maior. À direita, uma seta vertical indica x como o comprimento do lado do quadrado intermediário.

  1. A
    36\ \text{cm}^2
  2. B
    20\ \text{cm}^2
  3. C
    49\ \text{cm}^2
  4. D
    42\ \text{cm}^2
  5. E
    64\ \text{cm}^2
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Resolução comentada

Como os três quadrados têm as bases alinhadas, a diferença entre as alturas é a diferença entre os lados.

O lado do quadrado intermediário (direita) é x. O maior fica 2 cm acima dele, então seu lado é x+2. O menor fica 4 cm abaixo do maior, então seu lado é (x+2)-4 = x-2.

A soma das áreas é 83\ \text{cm}^2:

  1. (x-2)^2 + x^2 + (x+2)^2 = 83
  2. Desenvolvendo: x^2-4x+4 + x^2 + x^2+4x+4 = 83
  3. Os termos -4x e +4x se cancelam: 3x^2 + 8 = 83
  4. 3x^2 = 75 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = 5 (lado é positivo)

Logo, os lados são 3, 5 e 7 cm. Conferindo: 9+25+49 = 83. ✓

O quadrado maior tem lado x+2 = 7\ \text{cm}, e sua área é 7^2 = 49\ \text{cm}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ a área de um quadrado de lado 6, valor que não aparece na solução (os lados são 3, 5 e 7).
  • BNão corresponde a nenhum quadrado de lado inteiro da figura; é valor sem relação com os lados 3, 5 e 7.
  • DNão é quadrado perfeito, logo não pode ser a área de um dos quadrados.
  • EÉ o quadrado de 8, que resultaria de somar 4 ao lado 4, erro ao interpretar as diferenças de altura.

Assuntos: Equação do 2º grau, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: UFPR 2010 · 1ª fase. Prova oficial ↗