PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 da UFPR 2010

1ª fase · Matemática: Polinômios

Considere o polinômio p(x) = x^3 - ax^2 + x - a e analise as seguintes afirmativas:

  1. i = \sqrt{-1} é uma raiz desse polinômio.
  2. Qualquer que seja o valor de a, p(x) é divisível por x - a.
  3. Para que p(-2) = -10, o valor de a deve ser 0.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  2. B
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Fatorando por agrupamento: p(x) = x^3 - ax^2 + x - a = x^2(x - a) + (x - a) = (x - a)(x^2 + 1).

Com essa forma, analisamos cada afirmativa.

Afirmativa 1. As raízes de p(x) vêm de x - a = 0 ou x^2 + 1 = 0. A segunda equação dá x = \pm i. Logo, i é raiz para qualquer a. Conferindo: p(i) = i^3 - a i^2 + i - a = -i + a + i - a = 0. Verdadeira.

Afirmativa 2. Como p(x) = (x - a)(x^2 + 1), o polinômio é divisível por x - a para qualquer a. Também pelo teorema do resto: p(a) = a^3 - a^3 + a - a = 0. Verdadeira.

Afirmativa 3. Calculando p(-2):

  1. p(-2) = (-2 - a)(4 + 1) = 5(-2 - a)
  2. 5(-2 - a) = -10 \Rightarrow -2 - a = -2 \Rightarrow a = 0

Verificando com a = 0: p(x) = x^3 + x e p(-2) = -8 - 2 = -10. Verdadeira.

As três afirmativas são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera falsas as afirmativas 1 e 3, mas i é raiz de x^2+1 e a=0 dá p(-2)=-10.
  • BRejeita a afirmativa 3, que é verdadeira, pois 5(-2-a)=-10 leva a a=0.
  • CRejeita a afirmativa 2, mas p(a)=0 sempre, então x-a divide p(x).
  • DRejeita a afirmativa 1, mas p(i)=0 para qualquer a.

Assunto: Polinômios.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno 1ª fase da UFPR 2010

Fonte: UFPR 2010 · 1ª fase. Prova oficial ↗