PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da UFPR 2009

1ª fase · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Sabendo que a aresta do cubo ao lado mede 6 cm, considere as seguintes afirmativas:

  1. A área do triângulo ACD é 9\ \text{cm}^2.
  2. O volume da pirâmide ABCD é 1/6 do volume do cubo.
  3. A altura do triângulo ABC relativa a qualquer um dos lados mede 3\sqrt{2}\ \text{cm}.

Cubo em perspectiva com a pirâmide ABCD destacada por faces pontilhadas. A é o vértice superior esquerdo da face frontal, D é o vértice superior direito dessa face, B é o vértice inferior direito dessa face e C é o vértice superior direito da face posterior. Os segmentos AD, DB e DC são contínuos; AB, AC e BC são tracejados. As demais arestas do cubo são representadas por linhas finas.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
  2. B
    Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  3. C
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Pela descrição da figura, D é o vértice do cubo onde se encontram três arestas perpendiculares: DA, DB e DC, todas de 6 cm. A pirâmide ABCD é, portanto, um canto do cubo cortado por um plano.

Afirmativa 1. O triângulo ACD tem ângulo reto em D, com catetos DA = DC = 6 cm:

A = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\ \text{cm}^2

Como 18 \neq 9, a afirmativa é falsa.

Afirmativa 2. Tomando ACD como base e DB como altura (DB é perpendicular ao plano ACD):

V = \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 6 = 36\ \text{cm}^3

O volume do cubo é 6^3 = 216\ \text{cm}^3, e 36/216 = 1/6. Verdadeira.

Afirmativa 3. O triângulo ABC tem lados AB, AC e BC, todos diagonais de faces: 6\sqrt{2} cm. Ele é equilátero, e a altura é:

h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}\ \text{cm}

Como 3\sqrt{6}\neq 3\sqrt{2}, é falsa. Só a afirmativa 2 é verdadeira.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aa área de ACD é 18 cm², não 9 cm²; esquece de usar os dois catetos de 6 cm sem dividir errado.
  • Cinclui a afirmativa 1, que é falsa, pois a área de ACD é 18 cm².
  • Dconsidera verdadeiras as afirmativas 1 e 3, ambas falsas, e ignora a 2.
  • Econsidera a 3 verdadeira, mas a altura do triângulo equilátero de lado 6\sqrt{2} é 3\sqrt{6} cm.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno 1ª fase da UFPR 2009

Fonte: UFPR 2009 · 1ª fase. Prova oficial ↗