PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 da UFPR 2009

1ª fase · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

A linha de produção de uma fábrica produz milhares de peças por dia e apresenta, em média, quatro peças defeituosas a cada cem peças produzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verifica a quantidade de peças defeituosas. De acordo com as informações acima, considere as seguintes afirmativas:

1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é (0{,}04^0 \times 0{,}96^5) + (5 \times 0{,}04^1 \times 0{,}96^4).
2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1 - (0{,}04^0 \times 0{,}96^5).
3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
  2. B
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
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Resolução comentada

Como a fábrica produz milhares de peças, sortear 5 peças muda praticamente nada na proporção de defeituosas. Assim, cada peça é defeituosa com probabilidade p = 0{,}04 e boa com q = 0{,}96, e o número de defeituosas segue a distribuição binomial: P(k) = \binom{5}{k}\,0{,}04^k\,0{,}96^{5-k}.

Afirmativa 1. "No máximo uma" significa k = 0 ou k = 1:

  1. P(0) = \binom{5}{0}\,0{,}04^0\,0{,}96^5 = 0{,}04^0 \times 0{,}96^5
  2. P(1) = \binom{5}{1}\,0{,}04^1\,0{,}96^4 = 5 \times 0{,}04 \times 0{,}96^4

A soma é exatamente a expressão dada. Verdadeira.

Afirmativa 2. "Pelo menos uma" é o complementar de "nenhuma". Então 1 - P(0) = 1 - (0{,}04^0 \times 0{,}96^5). Verdadeira.

Afirmativa 3. Cinco defeituosas têm probabilidade 0{,}04^5, que é pequena, mas diferente de zero. Raro não é impossível, então é falsa.

São verdadeiras apenas as afirmativas 1 e 2.

Alternativa B.

Pegadinha: A afirmativa 3 confunde evento muito improvável (0{,}04^5) com evento impossível, atraindo as alternativas C, D e E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a afirmativa 2 também está correta, pois usa o evento complementar de nenhuma defeituosa.
  • CConsidera a 3 verdadeira, mas 0{,}04^5 > 0, então encontrar 5 defeituosas é raro, não impossível.
  • DMarca a 3 como verdadeira e deixa de fora a 2, que está correta.
  • EInclui a afirmativa 3, que é falsa porque a probabilidade de 5 defeituosas é positiva.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Fonte: UFPR 2009 · 1ª fase. Prova oficial ↗