PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 da UFPR 2009

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Dados os números reais a, b e c diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem 2

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & \mathbf{c} \end{bmatrix}

considere as seguintes afirmativas a respeito de M:

1. A matriz M é invertível.

2. Denotando a matriz transposta de M por \mathbf{M^T}, teremos \mathbf{\det(M.M^T) > 0} .

3. Quando \mathbf{a = 1} e \mathbf{c = -1}, tem-se \mathbf{M^2 = I}, sendo I a matriz identidade de ordem 2.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  2. B
    Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
  3. C
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Vamos testar cada afirmativa.

Afirmativa 1. Uma matriz é invertível quando o determinante é diferente de zero. Aqui:

\det M = a\cdot c - b\cdot 0 = ac

Como a \neq 0 e c \neq 0, temos ac \neq 0. Logo, M é invertível. Verdadeira.

Afirmativa 2. Usamos \det(M\cdot M^T) = \det M \cdot \det M^T e o fato de que \det M^T = \det M. Então:

\det(M\cdot M^T) = (\det M)^2 = (ac)^2

Como ac \neq 0, o quadrado é estritamente positivo. Verdadeira.

Afirmativa 3. Com a=1 e c=-1:

M = \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
M^2 = \begin{bmatrix} 1\cdot 1 + b\cdot 0 & 1\cdot b + b\cdot(-1) \\ 0 & 0\cdot b + (-1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I

O termo b - b = 0 cancela para qualquer b. Verdadeira.

As três afirmativas são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera falsas as afirmativas 1 e 3, mas ac ≠ 0 garante a inversa e M² = I vale.
  • BIgnora que a afirmativa 1 também é verdadeira, pois det M = ac ≠ 0.
  • CDescarta a afirmativa 3, esquecendo que o termo b − b se anula em M².
  • DDescarta a afirmativa 1, apesar de det M = ac ser não nulo.

Assunto: Matrizes e determinantes.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno 1ª fase da UFPR 2009

Fonte: UFPR 2009 · 1ª fase. Prova oficial ↗