PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 da UFPR 2009

1ª fase · Matemática: Prismas e paralelepípedos

A estrutura de um telhado tem a forma de um prisma triangular reto, conforme o esquema ao lado. Sabendo que são necessárias 20 telhas por metro quadrado para cobrir esse telhado, assinale a alternativa que mais se aproxima da quantidade de telhas necessárias para construí-lo.

Estrutura de telhado em formato de prisma triangular reto com duas águas inclinadas a 30° em relação à base horizontal de 18 m de largura e profundidade de 10 m.

(use \sqrt{3} = 1{,}7)

  1. A
    4080
  2. B
    5712
  3. C
    4896
  4. D
    3670
  5. E
    2856
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Resolução comentada

As telhas cobrem apenas as duas águas (faces retangulares inclinadas) do telhado, então precisamos da área dessas duas faces.

A seção do prisma é um triângulo isósceles com base de 18\ \text{m} e ângulos de 30^\circ na base. A altura divide a base em dois segmentos de 9\ \text{m}, formando um triângulo retângulo com ângulo de 30^\circ.

  1. O lado inclinado L é a hipotenusa desse triângulo retângulo. O cateto adjacente ao ângulo de 30^\circ mede 9\ \text{m}:
\cos 30^\circ = \frac{9}{L} \Rightarrow L = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}

  1. Com \sqrt{3} = 1{,}7: L = 6 \cdot 1{,}7 = 10{,}2\ \text{m}.

  2. Cada água é um retângulo de lados L e 10\ \text{m} (profundidade):

A_{\text{água}} = 10{,}2 \cdot 10 = 102\ \text{m}^2
  1. As duas águas somam:
A = 2 \cdot 102 = 204\ \text{m}^2
  1. Com 20 telhas por metro quadrado:
204 \cdot 20 = 4080 \text{ telhas}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa um lado inclinado maior que o correto (por exemplo, dividindo por \cos de modo errado), superestimando a área.
  • CResulta de um valor incorreto do lado inclinado, não correspondente a 6\sqrt{3}.
  • DNão corresponde à área das duas águas; vem de um erro de cálculo no lado inclinado.
  • ECorresponde a um lado inclinado errado, longe do valor de 10{,}2\ \text{m}.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: UFPR 2009 · 1ª fase. Prova oficial ↗