PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 da UFPR 2008

1ª fase · Matemática: Função quadrática

Alguns processos de produção permitem obter mais de um produto a partir dos mesmos recursos, por exemplo, a variação da quantidade de níquel no processo de produção do aço fornece ligas com diferentes graus de resistência. Uma companhia siderúrgica pode produzir, por dia, x toneladas do aço tipo Xis e y toneladas do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo processo de produção. A equação 2x + 3y^2 + 9y - 30 = 0, chamada de curva de transformação de produto, estabelece a relação de dependência entre essas duas quantidades. Obviamente deve-se supor x \ge 0 e y \ge 0. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

  1. É possível produzir até 20 toneladas do aço tipo Xis por dia.
  2. A produção máxima de aço tipo Ypsilon, por dia, é de apenas 2 toneladas.
  3. Num único dia é possível produzir 500 kg de aço tipo Ypsilon e ainda restam recursos para produzir mais de 12 toneladas do aço tipo Xis.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
  5. E
    Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
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Resolução comentada

A curva é 2x + 3y^2 + 9y - 30 = 0, com x \ge 0 e y \ge 0. Isolando x: x = \dfrac{30 - 3y^2 - 9y}{2}. Como y \ge 0, x diminui quando y aumenta. Vamos testar cada afirmativa.

Afirmativa 1. O maior x ocorre com y = 0:

x = \frac{30}{2} = 15

O máximo de Xis é 15 toneladas, então não dá para produzir 20. Falsa.

Afirmativa 2. O maior y ocorre com x = 0:

3y^2 + 9y - 30 = 0 \Rightarrow y^2 + 3y - 10 = 0

As raízes são y = 2 e y = -5. Só serve y = 2, então o máximo de Ypsilon é 2 toneladas. Verdadeira.

Afirmativa 3. Com 500 kg, temos y = 0{,}5 t:

  1. 3y^2 = 3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75
  2. 9y = 4{,}5
  3. x = \dfrac{30 - 0{,}75 - 4{,}5}{2} = \dfrac{24{,}75}{2} = 12{,}375

Como 12{,}375 > 12, sobram recursos para mais de 12 toneladas de Xis. Verdadeira.

Só as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera a afirmativa 1 verdadeira, mas o máximo de Xis é 15 t (com y=0), não 20.
  • BAceita a afirmativa 1 (falsa) e rejeita a 3, que é verdadeira, pois x=12{,}375 para y=0{,}5.
  • DSó a afirmativa 1 é tida como verdadeira, mas ela é falsa; as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  • EEsquece a afirmativa 3, que é verdadeira: com 500 kg de Ypsilon dá para produzir 12,375 t de Xis.

Assuntos: Função quadrática, Equação do 2º grau.

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Fonte: UFPR 2008 · 1ª fase. Prova oficial ↗