PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da UFPR 2008

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-2,0) e P = (0,1) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4,2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é:

  1. A
    3(3 + \sqrt{5})
  2. B
    3(5 + \sqrt{3})
  3. C
    5(3 + \sqrt{5})
  4. D
    3(3 + \sqrt{3})
  5. E
    5(5 + \sqrt{3})
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Resolução comentada

Primeiro, encontre a equação da reta r. Ela passa por A=(-2,0) e P=(0,1), então o coeficiente angular é m=\frac{1-0}{0-(-2)}=\frac{1}{2}. Como P está no eixo y, o coeficiente linear é 1: y=\frac{x}{2}+1.

A reta s é paralela ao eixo das ordenadas (vertical) e passa por Q=(4,2), logo s: x=4.

Pontos do triângulo:

  • A=(-2,0).
  • B é a interseção de s com o eixo das abscissas: B=(4,0).
  • C é a interseção de r com s: com x=4, y=\frac{4}{2}+1=3, então C=(4,3).

Lados do triângulo:

  1. AB=4-(-2)=6.
  2. BC=3-0=3.
  3. AC=\sqrt{(4+2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.

O triângulo é retângulo em B, o que confirma o uso de Pitágoras.

Perímetro:

6+3+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}=3(3+\sqrt{5})

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BAparece \sqrt{3} e fator 5, o que não sai de nenhuma conta correta com os lados 6, 3 e 3\sqrt{5}.
  • CFator 5 em evidência não corresponde ao perímetro 9+3\sqrt{5}; seria 15+5\sqrt{5}.
  • DUsa \sqrt{3} em vez de \sqrt{5}, errando a hipotenusa (\sqrt{45}, não \sqrt{27}).
  • EValor muito grande, sem relação com os lados 6, 3 e 3\sqrt{5}.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: UFPR 2008 · 1ª fase. Prova oficial ↗