PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 da UFPR 2008

1ª fase · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Na figura ao lado, os pontos A e P pertencem à circunferência de centro na origem e raio 1, o ponto R pertence ao eixo das abscissas e o ângulo t, em radianos, pode variar no intervalo (0, \frac{\pi}{2}), dependendo da posição ocupada por P. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir:

Circunferência centrada na origem O dos eixos cartesianos, com o ponto A na interseção com o semi-eixo x positivo e o ponto P sobre a circunferência no primeiro quadrante. O segmento OP forma um ângulo t com o eixo x. O ponto R é a projeção ortogonal de P no eixo x, formando um ângulo reto. Os segmentos OP, PR e PA estão representados.

  1. O comprimento do segmento AP é 2\cos t.
  2. A área do triângulo OAP, em função do ângulo t, é dado por f(t) = \frac{1}{2} \sen t.
  3. A área do triângulo ORP, em função do ângulo t, é dado por g(t) = \frac{1}{4} \sen(2t).

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
  2. B
    Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
  3. C
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Coloque as coordenadas: O=(0,0), A=(1,0), P=(\cos t,\ \sen t) e R=(\cos t,\ 0), pois R é a projeção de P no eixo x e o raio vale 1.

Afirmativa 1. Pela distância entre dois pontos:

AP^2=(1-\cos t)^2+\sen^2 t=2-2\cos t

Isso não dá 4\cos^2 t. Teste com t=\frac{\pi}{3}: AP^2=2-1=1, logo AP=1, mas 2\cos t=1 só coincide nesse ponto. Com t=\frac{\pi}{4}: AP^2=2-\sqrt2\approx0{,}59, então AP\approx0{,}77, e 2\cos t\approx1{,}41. Portanto é falsa.

Afirmativa 2. O triângulo OAP tem base OA=1 e altura PR=\sen t:

f(t)=\frac{1\cdot \sen t}{2}=\frac{1}{2}\sen t

É verdadeira.

Afirmativa 3. O triângulo ORP é retângulo em R, com catetos OR=\cos t e PR=\sen t:

g(t)=\frac{\cos t\cdot \sen t}{2}

Como \sen(2t)=2\sen t\cos t, temos \sen t\cos t=\frac{\sen(2t)}{2}, então:

g(t)=\frac{1}{4}\sen(2t)

É verdadeira.

São verdadeiras somente as afirmativas 2 e 3.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que a afirmativa 2 também é verdadeira (área = base 1 × altura sen t / 2).
  • BIgnora que a afirmativa 3 também é verdadeira, pela identidade do arco duplo.
  • DToma a afirmativa 1 como verdadeira, mas AP² = 2 − 2cos t, e não 4cos²t.
  • EInclui a afirmativa 1, falsa, e exclui a 3, que é verdadeira.

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: UFPR 2008 · 1ª fase. Prova oficial ↗