Questão 5 da UFPR 2008

Question

Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10^x = N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados \log 2 = 0{,}30 e \log 3 = 0{,}47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2^{120} 3^{30}.

A
10^{45}
B
10^{50}
C
10^{55}
D
10^{60}
E
10^{65}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UFPR 2008

1ª fase · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10^x = N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados \log 2 = 0{,}30 e \log 3 = 0{,}47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2^{120} 3^{30}.

A
10^{45}
B
10^{50}
C
10^{55}
D
10^{60}
E
10^{65}

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Resolução comentada

Se 10^x = N, então x = \log N. Para saber a ordem de grandeza de N, basta calcular esse logaritmo, usando as propriedades \log(ab)=\log a+\log b e \log a^n = n\log a.

Aplique o logaritmo: x = \log(2^{120}\cdot 3^{30}).
Separe o produto: x = 120\log 2 + 30\log 3.
Substitua os valores dados: x = 120\cdot 0{,}30 + 30\cdot 0{,}47.
Calcule cada parcela: 120\cdot 0{,}30 = 36 e 30\cdot 0{,}47 = 14{,}1.
Some: x = 36 + 14{,}1 = 50{,}1.

Assim, N = 10^{50{,}1} = 10^{50}\cdot 10^{0{,}1}. Como 10^{0{,}1} é próximo de 1{,}26, N é aproximadamente 1{,}26\cdot 10^{50}, o que tem 51 algarismos. O número da lista mais próximo de N é 10^{50}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubestima o expoente; x vale 50,1, não 45.
CExpoente 55 não resulta da conta; seria um erro de cálculo ao somar as parcelas.
DExpoente 60 está 10 unidades acima do valor correto, 50{,}1.
EExpoente 65 não corresponde a 120\log 2 + 30\log 3 = 50{,}1.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Notação científica e ordem de grandeza.

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Questão 5 no caderno 1ª fase da UFPR 2008

Fonte: UFPR 2008 · 1ª fase. Prova oficial ↗