PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Um cavalo está preso por uma corda do lado de fora de um galpão retangular fechado de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. A corda tem 10 metros de comprimento e está fixada num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura abaixo. Determine a área total da região em que o animal pode se deslocar.

Ilustração esquemática de um galpão retangular visto de cima e uma corda presa ao seu vértice inferior direito estendendo-se até um cavalo.

  1. A
    (75\pi + 24)\text{ m}^2
  2. B
    20\pi\text{ m}^2
  3. C
    (100\pi - 24)\text{ m}^2
  4. D
    88\pi\text{ m}^2
  5. E
    176\pi\text{ m}^2
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Resolução comentada

A corda está presa em um vértice do galpão, com 10 m de comprimento. O cavalo gira em torno desse vértice, e o galpão bloqueia parte do giro. Quando a corda encosta em um vértice vizinho, ela passa a se dobrar em torno dele, e o raio da região varrida diminui.

  1. Em volta do vértice de fixação, o ângulo externo ao galpão é 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ, ou seja, \tfrac34 de círculo de raio 10:
A_1 = \frac34\cdot\pi\cdot 10^2 = 75\pi
  1. A corda dobra no vértice vizinho pelo lado de 6 m. Sobram 10-6=4 m, que giram 90^\circ (um quarto de círculo de raio 4):
A_2 = \frac14\cdot\pi\cdot 4^2 = 4\pi
  1. A corda dobra no outro vértice vizinho, pelo lado de 4 m. Sobram 10-4=6 m, que giram 90^\circ (um quarto de círculo de raio 6):
A_3 = \frac14\cdot\pi\cdot 6^2 = 9\pi
  1. Somando:
75\pi + 4\pi + 9\pi = 88\pi\ \text{m}^2

Os dois setores menores não se sobrepõem, pois ficam em lados opostos do galpão, e o lado maior do retângulo (6 m) é menor que 10 m, então a corda realmente contorna os vértices.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma 24 (área do galpão) à parte de 75\pi, algo que não faz sentido, pois a região do cavalo é externa ao galpão.
  • BConsidera só os setores menores (4\pi+9\pi aproximado), esquecendo os \tfrac34 do círculo de raio 10.
  • CSubtrai a área do galpão de um círculo inteiro de raio 10, ignorando que a corda se dobra nos vértices.
  • EDobra o resultado correto, provavelmente tomando setores de ângulo errado.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗