PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Abaixo estão representados os gráficos das funções f e g.

Gráficos das funções no plano cartesiano, com eixo horizontal x e eixo vertical y. O eixo x apresenta as marcações −10, 0, 3 e 10. O gráfico y=f(x) é um segmento de reta decrescente que passa pela origem, com extremos fechados em x=−10, acima do eixo x, e em x=10, abaixo do eixo x. O gráfico y=g(x) é uma curva com extremos fechados: parte de x=−10 abaixo do eixo x, sobe e cruza esse eixo, atinge um máximo local acima dele, desce cruzando novamente o eixo, atinge um mínimo local abaixo dele, volta a subir, cruza o eixo x em 3, atinge outro máximo local e desce até x=10, acima do eixo x. Linhas verticais tracejadas indicam os extremos em x=−10 e x=10.

Sobre esses gráficos, considere as seguintes afirmativas:

1. A equação f(x).g(x)=0 possui quatro soluções no intervalo fechado [-10,10].
2. A função y=f(x).g(x) assume apenas valores positivos no intervalo aberto (0,3).
3. f(g(0))=g(f(0)).
4. No intervalo fechado [3,10], a função f é decrescente e a função g é crescente.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
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Resolução comentada

Leia os gráficos: f é uma reta decrescente que passa pela origem, então f(x)=0 só em x=0. Já g cruza o eixo x em três pontos: dois à esquerda de zero (em torno de -8 e -5) e um em x=3.

Afirmativa 1. O produto f(x)\cdot g(x) é zero quando f(x)=0 ou g(x)=0. Isso dá x=0 (de f) e os três zeros de g, totalizando 4 soluções distintas em [-10,10]. Verdadeira.

Afirmativa 2. Em (0,3), f(x)<0, pois a reta está abaixo do eixo x para x>0. Também g(x)<0, pois g só cruza o eixo em x=3 e está negativa antes disso. Negativo vezes negativo dá positivo, então o produto é sempre positivo. Verdadeira.

Afirmativa 3. f(0)=0, logo g(f(0))=g(0), que é negativo (o gráfico de g cruza o eixo y abaixo da origem). Já g(0)<0 e f(g(0)) é f aplicada a um número negativo, então é positivo. Assim, f(g(0))>0 e g(f(0))=g(0)<0. Não são iguais. Falsa.

Afirmativa 4. Em [3,10], f é decrescente, mas g sobe até um máximo por volta de x=8 e depois desce até x=10. Logo g não é crescente em todo o intervalo. Falsa.

São verdadeiras apenas 1 e 2.

Alternativa A.

Pegadinha: A afirmativa 4 engana quem vê só o trecho crescente de g perto de x=3 e esquece que ela passa por um máximo e volta a decrescer antes de x=10.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BConsidera a afirmativa 4 verdadeira, mas g decresce perto de x=10, após o máximo local.
  • CDeclara verdadeiras a 3 e a 4, ambas falsas, e ignora a 1 e a 2.
  • DAceita a 3 e a 4 como verdadeiras e descarta a 2, que é verdadeira.
  • EAfirma a 3 como verdadeira, mas f(g(0))>0 e g(f(0))=g(0)<0.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗