PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Polinômios

Sabendo que o polinômio p(x) = x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx - a é divisível pelo polinômio q(x) = x^2 + 1, é correto afirmar:

  1. A
    a + 2b = 1 / 2
  2. B
    a - 2b = 0
  3. C
    2a - b = 3 / 4
  4. D
    2a + b = -2
  5. E
    a - b = -1
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Resolução comentada

Se p(x) é divisível por q(x)=x^2+1, o resto da divisão é zero. Isso equivale a dizer que as raízes de q também são raízes de p. As raízes de q são x=i e x=-i, pois x^2=-1.

Assim, basta usar x^2=-1, ou seja, x^3=-x e x^4=1, e substituir em p:

  1. x^4 = 1
  2. -3x^3 = -3(-x) = 3x
  3. ax^2 = -a
  4. bx continua bx
  5. -a continua -a

Somando: p(i) = 1 + 3i - a + bi - a = (1-2a) + (3+b)i.

Para p(i)=0, a parte real e a parte imaginária devem ser nulas:

1-2a=0 \Rightarrow a=\tfrac12
3+b=0 \Rightarrow b=-3

Testando as alternativas com a=\tfrac12 e b=-3:

  • (A) a+2b = \tfrac12-6 = -\tfrac{11}{2}, falsa.
  • (B) a-2b = \tfrac12+6 = \tfrac{13}{2}, falsa.
  • (C) 2a-b = 1+3 = 4, falsa.
  • (D) 2a+b = 1-3 = -2, verdadeira.
  • (E) a-b = \tfrac12+3 = \tfrac72, falsa.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá a+2b=-11/2, não 1/2.
  • BDá a-2b=13/2, não 0.
  • CDá 2a-b=4, não 3/4.
  • EDá a-b=7/2, não -1.

Assuntos: Polinômios, Números complexos.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗