PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 da UFPR 2007

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Em uma rua, um ônibus com 12 m de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus pára um carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme indica a figura abaixo. Determine a menor distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.

Esquema mostrando em perfil o solo horizontal com um poste de semáforo à esquerda com altura de 5 m, um ônibus de 12 m de comprimento situado a 5 m da base do semáforo, e um carro à direita separado do ônibus por uma distância d. A linha de visão do motorista está a 2 m da frente do carro e a 1 m de altura do chão.

  1. A
    13,5 m
  2. B
    14,0 m
  3. C
    14,5 m
  4. D
    15,0 m
  5. E
    15,5 m
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Resolução comentada

Para ver o semáforo inteiro, o motorista precisa ver o ponto mais baixo dele, que é o ponto onde o semáforo começa, no topo do poste? Pela figura, o semáforo fica no alto do poste de 5 m, então o ponto crítico é o topo do poste (5 m). A linha de visão que passa raspando no teto do ônibus (3 m de altura) é a que limita a posição do carro.

Monte a reta que sai dos olhos do motorista (altura 1 m), passa pelo canto traseiro superior do ônibus (altura 3 m) e chega ao topo do poste (altura 5 m). Como a visão passa rente ao teto do ônibus, usamos semelhança de triângulos.

Horizontalmente, do canto superior traseiro do ônibus até o poste são 12 + 5 = 17 m. Do olho do motorista até o canto traseiro do ônibus são x = d + 2 m.

  1. Subida do olho até o teto: 3 - 1 = 2 m, em x metros.
  2. Subida do teto até o semáforo: 5 - 3 = 2 m, em 17 m.

Como a reta é a mesma, a inclinação é constante:

\frac{2}{x} = \frac{2}{17} \Rightarrow x = 17\ \text{m}

Logo d + 2 = 17, e d = 15 m.

Conferência: a 15 m do ônibus, o olho está a 17 m do ônibus; a reta sobe 2 m nesse trecho e mais 2 m nos 17 m seguintes, chegando a 5 m. Se o carro chegasse mais perto, o ônibus esconderia a base do semáforo.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa distância horizontal incorreta (por exemplo, considera apenas parte do trecho) e não chega à proporção correta.
  • BErra a soma dos trechos horizontais, não respeitando a semelhança de triângulos.
  • CResultado intermediário sem base na proporção 2/x = 2/17.
  • EEsquece de descontar os 2 m entre os olhos e a frente do carro ao passar de x para d, ou o contrário.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: UFPR 2007 · 1ª fase. Prova oficial ↗