PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 da UFPR 2006

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Maria e seus colegas trabalham em uma empresa localizada em uma praça circular. Essa praça é circundada por uma calçada e dividida em partes iguais por 12 caminhos retos que vão da borda ao centro da praça, conforme o esquema abaixo. A empresa fica no ponto E, há um restaurante no ponto R, uma agência de correio no ponto C e uma lanchonete no ponto L. Quando saem para almoçar, as pessoas fazem caminhos diferentes: Maria sempre se desloca pela calçada que circunda a praça; Carmen sempre passa pelo centro da praça, vai olhar o cardápio do restaurante e, se este não estiver do seu agrado, vai almoçar na lanchonete, caminhando pela calçada; Sérgio sempre passa pelo centro da praça e pelo correio, daí seguindo pela calçada para a lanchonete ou para o restaurante. Sabendo que as pessoas sempre percorrem o menor arco possível quando caminham na calçada que circunda a praça, avalie as afirmativas a seguir:

Esquema de uma praça circular com 12 raios que vão do centro até a borda, dividindo o círculo em 12 partes iguais. Na extremidade superior (12 horas) está assinalado o ponto E; na extremidade leste (3 horas) está o ponto C; a um raio abaixo de C (4 horas) está o ponto L; e a um raio abaixo de L (5 horas) está o ponto R.

I. Quando Carmen e Sérgio vão almoçar na lanchonete, ambos percorrem a mesma distância.
II. Quando Maria e Sérgio vão almoçar na lanchonete, quem percorre a menor distância é Maria.
III. Quando todos os três vão almoçar no restaurante, Carmen percorre a menor distância.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa I é verdadeira.
  2. B
    Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
  3. C
    As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
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Resolução comentada

Cada uma das 12 partes iguais corresponde a 30^\circ. Seja r o raio e \frac{2\pi r}{12}=\frac{\pi r}{6} o arco de uma parte.

Pela figura, E está a 12 h, C a 3 h, L a 4 h e R a 5 h. Então E→C são 3 partes, C→L é 1 parte, L→R é 1 parte, e E→R são 5 partes pelo menor caminho (o outro lado teria 7).

I. Carmen vai de E ao centro (raio r), do centro a R (raio r), e de R a L pela calçada (1 parte). Total: 2r+\frac{\pi r}{6}. Sérgio vai de E ao centro (r), do centro a C (r) e de C a L pela calçada (1 parte). Total: 2r+\frac{\pi r}{6}. As distâncias são iguais: verdadeira.

II. Maria vai de E a L pela calçada: 4 partes, ou seja, \frac{4\pi r}{6}\approx 2{,}09r. Sérgio percorre 2r+\frac{\pi r}{6}\approx 2{,}52r. Maria percorre menos: verdadeira.

III. Para o restaurante: Maria faz 5 partes, \frac{5\pi r}{6}\approx 2{,}62r. Sérgio faz 2r+ arco C→R (2 partes) =2r+\frac{\pi r}{3}\approx 3{,}05r. Carmen faz só 2r. Carmen percorre a menor distância: verdadeira.

As três afirmativas são verdadeiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AReconhece só a I, mas II e III também são verdadeiras.
  • BExclui a I, que é verdadeira: os dois percorrem 2r mais um arco de 30^\circ.
  • DConsidera a II falsa, mas Maria faz cerca de 2{,}09r, menos que Sérgio com 2{,}52r.
  • EConsidera a III falsa, mas Carmen percorre apenas 2r, a menor das três distâncias até R.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Fonte: UFPR 2006 · 1ª fase. Prova oficial ↗