PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da UFPR 2006

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices \text{A} = (0,0), \text{B} = (3,1) e \text{C} = (1,2) e avalie as afirmativas a seguir.

I. O triângulo \text{ABC} é isósceles.

II. O ponto \text{D} = \left(2, \dfrac{1}{2}\right) pertence ao segmento \text{AB}.

III. A equação da reta que passa pelos pontos \text{B} e \text{C} é 2x + y = 5.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
  2. B
    Somente a afirmativa I é verdadeira.
  3. C
    Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
  5. E
    As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmativa com a geometria analítica.

I. Um triângulo é isósceles se tem dois lados de mesma medida. A distância entre dois pontos é \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.

  1. AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}
  2. AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}
  3. BC=\sqrt{(1-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}

Como AC=BC, o triângulo é isósceles. Afirmativa verdadeira.

II. A reta AB passa pela origem e por (3,1), então y=\dfrac{x}{3}. Para x=2, temos y=\dfrac{2}{3}, e não \dfrac{1}{2}. Logo, D não está em AB. Afirmativa falsa.

III. O coeficiente angular da reta BC é \dfrac{2-1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}. Usando o ponto C=(1,2): y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1), ou seja, 2y-4=-x+1, o que dá x+2y=5. A afirmativa diz 2x+y=5. Testando B: 2\cdot3+1=7\neq5. Afirmativa falsa.

Só a I é verdadeira.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana porque 2x+y=5 parece a equação de BC; é x+2y=5, com os coeficientes trocados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera D pertencente a AB, mas a reta AB é y=x/3 e em x=2 dá y=2/3.
  • Ctoma II e III como verdadeiras, mas ambas falham (D não está em AB e B não satisfaz 2x+y=5).
  • Daceita a III, mas a reta BC é x+2y=5; a equação dada troca os coeficientes.
  • Eafirma que as três são verdadeiras, mas II e III são falsas.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: UFPR 2006 · 1ª fase. Prova oficial ↗