PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 da UFPR 2006

1ª fase · Matemática: Equação do 2º grau

Considere as seguintes afirmativas a respeito do polinômio p(x) = x^2 + bx + c:

I. Quando c = 0, o valor x = 0 é raiz do polinômio.

II. Se x = \alpha e x = -\alpha são raízes do polinômio e \alpha \neq 0, então b = 0.

III. Se o número complexo x = 1 - i é raiz do polinômio, então b + ic = 0.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
  3. C
    Somente a afirmativa I é verdadeira.
  4. D
    As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
  5. E
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
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Vamos testar cada afirmativa.

I. Se c=0, então p(x)=x^2+bx e p(0)=0. Logo x=0 é raiz. Verdadeira.

II. Se \alpha e -\alpha são raízes, a soma das raízes é \alpha+(-\alpha)=0. Pelas relações de Girard, a soma das raízes de x^2+bx+c é -b. Então -b=0 e b=0. Verdadeira.

III. Os coeficientes são reais, então, se 1-i é raiz, seu conjugado 1+i também é. Assim:

  1. Soma: (1-i)+(1+i)=2=-b, logo b=-2.
  2. Produto: (1-i)(1+i)=1-i^2=1+1=2=c, logo c=2.

Então b+ic=-2+2i\neq 0. Falsa.

Atenção: o enunciado não diz que b e c são reais, mas se fossem complexos a conclusão de III poderia ser outra. Pelo contexto, usamos b,c reais, e o resultado b+ic=-2+2i não é zero. Mesmo sem supor isso, a afirmativa não é garantida, e a leitura usual a considera falsa.

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem não calcula b+ic e supõe que III vale; o correto é b=-2, c=2, dando -2+2i.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera III verdadeira e I falsa, mas I é verdadeira e III dá b+ic=-2+2i\neq0.
  • BMarca III como verdadeira e II como falsa, quando II é verdadeira (soma das raízes nula) e III é falsa.
  • CIgnora que II é verdadeira: raízes opostas têm soma zero, logo b=0.
  • DInclui III, mas com b=-2 e c=2 obtém-se b+ic=-2+2i, não zero.

Assuntos: Equação do 2º grau, Números complexos.

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Fonte: UFPR 2006 · 1ª fase. Prova oficial ↗