Questão 5 da UFPR 2006

Question

Uma pessoa pretende adquirir um terreno de esquina para construir sua casa, porém ela não sabe a área do terreno. As únicas informações disponíveis são que o terreno possui o formato de um trapézio retângulo com um dos lados medindo 10 m e outro medindo 24 m. Além disso, o ângulo entre esses lados é de 120 graus, conforme a figura ao lado. Qual é a área desse terreno?

Considere \sqrt{3} = 1{,}73.

Trapézio retângulo com base menor superior medindo 10 m, lado inclinado à direita medindo 24 m e ângulo interno obtuso entre eles de 120º.

A
314{,}32\ \text{m}^2
B
332{,}16\ \text{m}^2
C
346{,}54\ \text{m}^2
D
360{,}58\ \text{m}^2
E
308{,}70\ \text{m}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UFPR 2006

1ª fase · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma pessoa pretende adquirir um terreno de esquina para construir sua casa, porém ela não sabe a área do terreno. As únicas informações disponíveis são que o terreno possui o formato de um trapézio retângulo com um dos lados medindo 10 m e outro medindo 24 m. Além disso, o ângulo entre esses lados é de 120 graus, conforme a figura ao lado. Qual é a área desse terreno?

Considere \sqrt{3} = 1{,}73.

Trapézio retângulo com base menor superior medindo 10 m, lado inclinado à direita medindo 24 m e ângulo interno obtuso entre eles de 120º.

A
314{,}32\ \text{m}^2
B
332{,}16\ \text{m}^2
C
346{,}54\ \text{m}^2
D
360{,}58\ \text{m}^2
E
308{,}70\ \text{m}^2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O terreno é um trapézio retângulo: a base menor (topo) mede 10 m, o lado inclinado mede 24 m e o ângulo interno entre eles é 120°. A altura é o lado perpendicular às bases, à esquerda.

Traçando uma perpendicular do vértice superior direito até a base maior, formamos um triângulo retângulo com a hipotenusa de 24 m. O ângulo de 120° se divide em 90° (entre o topo e a vertical traçada) e 30° (entre a vertical e o lado inclinado). Assim, o lado de 24 m faz 30° com a altura.

Altura: h = 24\cos 30° = 24\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 12\sqrt3 = 12\cdot 1{,}73 = 20{,}76\ \text{m}.
Projeção horizontal do lado inclinado: x = 24\,\sen 30° = 24\cdot\dfrac12 = 12\ \text{m}.
Base maior: B = 10 + 12 = 22\ \text{m}.
Área do trapézio:

A = \frac{(B+b)\,h}{2} = \frac{(22+10)\cdot 20{,}76}{2} = 16\cdot 20{,}76 = 332{,}16\ \text{m}^2

Conferindo: 16\cdot 20 = 320 e 16\cdot 0{,}76 = 12{,}16, total 332{,}16.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as medidas corretas, provavelmente de erro de conta com a altura ou a base maior.
CResulta de usar medidas trocadas (seno no lugar do cosseno ou base errada), não bate com h = 12√3 e B = 22.
DTambém vem de trocar projeção e altura ou de somar a base errada, não corresponde a 16·20,76.
EValor incompatível com o cálculo correto, resultado de erro na base maior ou na altura.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 5 no caderno 1ª fase da UFPR 2006

Fonte: UFPR 2006 · 1ª fase. Prova oficial ↗