PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 da UFPR 2006

1ª fase · Matemática: Sequências e padrões

João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x_1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x_2. A seguir ele somava 5 a x_2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x_3 . Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números

x_1\text{ , } x_2\text{ , } x_3\text{ , } x_4\text{ , } x_5\text{ ,..., } x_n

Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor x_n se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse?

  1. A
    0
  2. B
    5
  3. C
    5/2
  4. D
    1
  5. E
    15/2
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Resolução comentada

A regra de João é x_{n+1}=\dfrac{x_n+5}{2}. Se a sequência se aproxima de um valor fixo L, então x_n e x_{n+1} ficam cada vez mais próximos de L. Por isso, L deve satisfazer a mesma regra, ou seja, não pode mudar quando aplicamos a operação.

  1. Substituímos x_n e x_{n+1} por L:
L=\frac{L+5}{2}
  1. Multiplicamos os dois lados por 2:
2L=L+5
  1. Isolamos L:
L=5

Confirmando com um exemplo: começando com x_1=1, temos x_2=3, x_3=4, x_4=4{,}5, x_5=4{,}75. A distância até 5 cai pela metade a cada passo (4, 2, 1, 0{,}5, 0{,}25), então os valores se aproximam de 5. O mesmo ocorre se começarmos acima de 5, por exemplo com 9: 7, 6, 5{,}5, e assim por diante. Isso vale para qualquer x_1, pois a diferença x_n-5 é sempre dividida por 2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AZero não é ponto fixo: (0+5)/2=2{,}5\neq 0.
  • CÉ o valor de x_2 partindo de 0, não o limite; (5/2+5)/2\neq 5/2.
  • DUm não é fixo: (1+5)/2=3\neq 1.
  • E15/2 também não é fixo: (15/2+5)/2=25/4\neq 15/2.

Assunto: Sequências e padrões.

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Fonte: UFPR 2006 · 1ª fase. Prova oficial ↗