Questão 5 da UFPR 2005

Question

Duas caixas de papelão, de formato cúbico, foram colocadas embaixo de uma escada, como sugere o desenho abaixo, que representa um corte de perfil. Sabendo que a aresta da caixa maior mede 70\text{ cm} e que a aresta da caixa menor mede 30\text{ cm}, quanto mede a distância x indicada no desenho?

Duas caixas de perfil apoiadas no chão sob uma reta inclinada representando a escada, que tangencia o vértice superior direito de ambas as caixas. A distância horizontal da base da caixa menor ao ponto em que a escada toca o chão é indicada por x.

A
22{,}0\text{ cm}
B
21{,}5\text{ cm}
C
22{,}5\text{ cm}
D
21{,}0\text{ cm}
E
20{,}5\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 da UFPR 2005

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Duas caixas de papelão, de formato cúbico, foram colocadas embaixo de uma escada, como sugere o desenho abaixo, que representa um corte de perfil. Sabendo que a aresta da caixa maior mede 70\text{ cm} e que a aresta da caixa menor mede 30\text{ cm}, quanto mede a distância x indicada no desenho?

Duas caixas de perfil apoiadas no chão sob uma reta inclinada representando a escada, que tangencia o vértice superior direito de ambas as caixas. A distância horizontal da base da caixa menor ao ponto em que a escada toca o chão é indicada por x.

A
22{,}0\text{ cm}
B
21{,}5\text{ cm}
C
22{,}5\text{ cm}
D
21{,}0\text{ cm}
E
20{,}5\text{ cm}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Pela figura, a escada é uma reta que passa pelo vértice superior direito da caixa maior (altura 70 cm) e pelo vértice superior direito da caixa menor (altura 30 cm), e chega ao chão a uma distância x da lateral direita da caixa menor.

A caixa menor está encostada na maior, então a distância horizontal entre os dois vértices é 30 cm (a aresta da menor).

Como a escada é uma reta, a inclinação é a mesma em todos os trechos. Isso permite usar semelhança de triângulos retângulos (ou a razão altura/distância horizontal):

Entre os dois vértices: a altura cai 70-30=40 cm enquanto a horizontal avança 30 cm. A razão é \frac{40}{30}=\frac{4}{3}.
Do vértice da caixa menor até o chão: a altura cai 30 cm e a horizontal avança x. A razão é \frac{30}{x}.

Igualando as razões:

\frac{30}{x}=\frac{40}{30}

40x=900

x=\frac{900}{40}=22{,}5\ \text{cm}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Avalor sem justificativa na semelhança; resulta de arredondar ou errar a conta de 900/40.
Berro de cálculo na divisão 900/40, sem chegar a 22{,}5.
Dnão corresponde à proporção 30/x=40/30; erro de conta.
Enão corresponde à proporção correta; erro de conta ou de montagem.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 5 no caderno 1ª fase da UFPR 2005

Fonte: UFPR 2005 · 1ª fase. Prova oficial ↗