PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 da UFPR 2005

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

A respeito da matriz A = \begin{bmatrix} \sen x & \cos x \\ -\sen x & \cos x \end{bmatrix}, assinale a alternativa correta.

  1. A
    Existe um valor de x para o qual a matriz A é a matriz nula.
  2. B
    Se x é um número da forma \frac{k\pi}{2}, com k inteiro, então a matriz A não tem inversa.
  3. C
    Se x = 0, a matriz A é igual à sua transposta.
  4. D
    Se x = \frac{\pi}{4}, o determinante da matriz A é igual a 0.
  5. E
    Para qualquer x real, \det(A) = \cos 2x.
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Resolução comentada

Primeiro calculamos o determinante de A:

\det(A)=\sen x\cdot\cos x-\cos x\cdot(-\sen x)=2\,\sen x\cos x=\sen 2x

Uma matriz tem inversa só se o determinante é diferente de zero. Vamos testar cada afirmação.

  1. (A) A matriz nula exigiria \sen x=0 e \cos x=0 ao mesmo tempo, o que é impossível, pois \sen^2x+\cos^2x=1.
  2. (B) Para x=\frac{k\pi}{2}, temos \det(A)=\sen(k\pi)=0. Logo A não tem inversa. Verdadeira.
  3. (C) Para x=0: A=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix} e A^t=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\end{bmatrix}. São diferentes.
  4. (D) Para x=\frac{\pi}{4}: \det(A)=\sen\frac{\pi}{2}=1\neq0.
  5. (E) O determinante é \sen 2x, e não \cos 2x.

Só a (B) é correta.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASeno e cosseno não se anulam simultaneamente, então A nunca é a matriz nula.
  • CPara x=0 a matriz é [[0,1],[0,1]], cuja transposta é [[0,0],[1,1]], diferente dela.
  • DEm x=π/4 o determinante é sen(π/2)=1, não 0.
  • EO determinante é 2 sen x cos x = sen 2x, não cos 2x.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: UFPR 2005 · 1ª fase. Prova oficial ↗