PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 da UFPR 2005

1ª fase · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Um estudo feito com certo tipo de bactéria detectou que, no decorrer de uma infecção, a quantidade dessas bactérias no corpo de um paciente varia aproximadamente segundo uma função q(t) que fornece o número de bactérias em milhares por \text{mm}^3 de sangue no instante t. O gráfico da função q(t) encontra-se esboçado abaixo. O tempo é medido em horas, e o instante t = 0 corresponde ao momento do contágio.

Gráfico de q(t) por t, partindo da origem (0, 0), atingindo o valor máximo 4 em t = 24 e decrescendo até valores menores que 1 após t = 48.

Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

I. A função q(t) é crescente no intervalo [0,48].
II. A quantidade máxima de bactérias é atingida 24 horas após o contágio, aproximadamente.
III. 60 horas após o contágio, a quantidade de bactérias está abaixo de 1.500 por \text{mm}^3.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
  2. B
    Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
  4. D
    Somente a afirmativa I é verdadeira.
  5. E
    Somente a afirmativa III é verdadeira.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Uma função é crescente em um intervalo quando, ao andarmos para a direita, o gráfico só sobe. O eixo q está em milhares de bactérias por \text{mm}^3.

I. Falsa. O gráfico sobe de t=0 até t=24, mas depois desce. Em [0,48] a função não é crescente.

II. Verdadeira. O ponto mais alto da curva é q=4, em t=24. Logo, o máximo ocorre 24 horas após o contágio.

III. Verdadeira. Em t=48 o gráfico já está um pouco acima de 1 e continua decrescendo. Em t=60 ele está abaixo de 1, quase em 0{,}5. Convertendo:

q(60) < 1 \text{ milhar} = 1.000 \text{ bactérias por mm}^3 < 1.500

Portanto, a quantidade está abaixo de 1.500 por \text{mm}^3.

Só II e III são verdadeiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera I verdadeira, mas a função decresce depois de t = 24, então não é crescente em [0, 48].
  • BAceita I como verdadeira e rejeita II, embora o máximo (q = 4) ocorra mesmo em t = 24.
  • DAfirma que só I é verdadeira, mas I é falsa por causa da queda após t = 24.
  • EReconhece III, mas esquece que II também é verdadeira: o pico está em t = 24.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: UFPR 2005 · 1ª fase. Prova oficial ↗