PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 da UFPR 2005

1ª fase · Matemática: Função afim

Precisando contratar serviço de limpeza para carpetes, uma pessoa encontrou duas empresas que prestam o mesmo tipo de serviço e cobram os preços descritos a seguir, sempre baseados na área do carpete.

Empresa Limpinski: para áreas de até 50 m^2, preço fixo de R$ 70,00; para áreas superiores a 50 m^2, valor fixo de R$ 45,00, acrescido de R$ 0,50 por metro quadrado lavado.

Empresa Clean: para áreas de até 40 m^2, preço fixo de R$ 40,00; para áreas superiores a 40 m^2, R$ 1,00 por metro quadrado lavado.

Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

I. Para lavar 80 m^2 de carpete, a empresa Clean cobra R$ 120,00.
II. É a empresa Clean que oferece o menor preço para lavar menos de 70 m^2 de carpete.
III. Para lavar entre 80 m^2 e 100 m^2 de carpete, a opção mais barata é sempre a empresa Limpinski.

Assinale a alternativa correta.

  1. A
    Somente a afirmativa II é verdadeira.
  2. B
    Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
  3. C
    Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
  4. D
    Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
  5. E
    Somente a afirmativa I é verdadeira.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro, escreva o preço de cada empresa em função da área x (em m²).

Limpinski: L(x)=70 para x\le 50 e L(x)=45+0{,}5x para x>50.

Clean: C(x)=40 para x\le 40 e C(x)=x para x>40.

Afirmativa I: para x=80, C=80, ou seja, R$ 80,00, e não R$ 120,00. Falsa. (R$ 120,00 seria 40 + 80, uma soma que o enunciado não prevê.)

Afirmativa II: vamos comparar por faixas, para x<70.

  1. Até 40 m²: Clean cobra R$ 40,00 e Limpinski R$ 70,00. Clean é mais barata.
  2. De 40 a 50 m²: Clean cobra x, no máximo R$ 50,00, e Limpinski R$ 70,00. Clean é mais barata.
  3. De 50 a 70 m²: compare x com 45+0{,}5x. Vale x<45+0{,}5x quando 0{,}5x<45, isto é, x<90. Logo, Clean é mais barata.

Portanto, para qualquer área abaixo de 70 m², a Clean é a mais barata. Verdadeira.

Afirmativa III: o ponto de equilíbrio é x=90, onde as duas cobram R$ 90,00. Entre 80 e 90 m², a Clean é mais barata (por exemplo, em 80 m²: R$ 80,00 contra R$ 85,00). A Limpinski só passa a ser mais barata acima de 90 m². Logo, não é "sempre" a Limpinski. Falsa.

Só a afirmativa II é verdadeira.

Alternativa A.

Pegadinha: A afirmativa III engana pela palavra "sempre": a Limpinski só compensa acima de 90 m², e não a partir de 80 m².

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bconsidera a I verdadeira, mas a Clean cobra R$ 80,00 por 80 m², não R$ 120,00.
  • Cacerta nada: a I é falsa e a III também, pois entre 80 e 90 m² a Clean é mais barata.
  • Daceita a III, ignorando que o ponto de equilíbrio é 90 m² e não 80 m².
  • Econsidera só a I verdadeira, mas ela é falsa (R$ 80,00, não R$ 120,00).

Assunto: Função afim.

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Fonte: UFPR 2005 · 1ª fase. Prova oficial ↗