Questão 43 da UFG 2027

Question

Duas partículas pontuais, I e II, se situam inicialmente na origem (0, 0) de um sistema cartesiano retangular. A partícula I passa a se mover retilineamente indo, no primeiro passo, para o ponto (1, 0); a cada novo passo, se move metade do comprimento do passo anterior, no mesmo sentido. A partícula II passa a se mover retilineamente indo, no primeiro passo, para o ponto \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ; a cada novo passo, se move um terço do comprimento do passo anterior, no mesmo sentido. Essas duas partículas seguem se movendo indefinidamente. As distâncias entre as partículas I e II e os pontos P e Q, respectivamente, se aproximam cada vez mais de zero. As coordenadas cartesianas dos pontos P e Q são, respectivamente,

A
(2, 0) e \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right).
B
(4, 0) e \left(-\frac{3\sqrt{2}}{4}, \frac{3\sqrt{2}}{4}\right).
C
(2, 0) e \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right).
D
(2, 0) e \left(-\frac{3\sqrt{2}}{4}, \frac{3\sqrt{2}}{4}\right).
E
(4, 0) e \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 da UFG 2027

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Duas partículas pontuais, I e II, se situam inicialmente na origem (0, 0) de um sistema cartesiano retangular. A partícula I passa a se mover retilineamente indo, no primeiro passo, para o ponto (1, 0); a cada novo passo, se move metade do comprimento do passo anterior, no mesmo sentido. A partícula II passa a se mover retilineamente indo, no primeiro passo, para o ponto \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ; a cada novo passo, se move um terço do comprimento do passo anterior, no mesmo sentido. Essas duas partículas seguem se movendo indefinidamente. As distâncias entre as partículas I e II e os pontos P e Q, respectivamente, se aproximam cada vez mais de zero. As coordenadas cartesianas dos pontos P e Q são, respectivamente,

A
(2, 0) e \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right).
B
(4, 0) e \left(-\frac{3\sqrt{2}}{4}, \frac{3\sqrt{2}}{4}\right).
C
(2, 0) e \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right).
D
(2, 0) e \left(-\frac{3\sqrt{2}}{4}, \frac{3\sqrt{2}}{4}\right).
E
(4, 0) e \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right).

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Resolução comentada

Cada partícula anda em linha reta, sempre no mesmo sentido, com passos que formam uma progressão geométrica. O ponto-limite é a soma da PG infinita, S=\frac{a_1}{1-q}, válida para |q|<1.

Partícula I: o primeiro passo vai de (0,0) a (1,0), então mede 1. A razão é q=\frac{1}{2} e o sentido é o do eixo x.

Comprimento total: S=\frac{1}{1-\frac12}=2.
Como o movimento é ao longo do eixo x, P=(2,0).

Partícula II: o primeiro passo vai a \left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right), com comprimento \sqrt{\frac12+\frac12}=1. A razão é q=\frac13.

Cada passo mantém a direção do primeiro, então o deslocamento total é o vetor do primeiro passo multiplicado por \frac{1}{1-\frac13}=\frac32.
Coordenada x: -\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac32=-\frac{3\sqrt2}{4}.
Coordenada y: \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac32=\frac{3\sqrt2}{4}.

Logo Q=\left(-\frac{3\sqrt2}{4},\frac{3\sqrt2}{4}\right).

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AMultiplica o primeiro passo por 3 em Q, em vez de por 3/2.
BUsa P=4 (soma com razão errada) e confunde o fator de Q.
CAcerta P, mas em Q esquece o fator √2/2 e usa 3/2 como coordenada.
EErra P (4 em vez de 2) e também erra Q ao ignorar √2/2.

Assunto: Progressão geométrica.

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Questão 43 no caderno Vespertino da UFG 2027

Fonte: UFG 2027 · Vespertino. Prova oficial ↗