Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 da UFG 2027

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Um agricultor pretende instalar um sistema de irrigação em três pontos, p_1, p_2 e p_3, de um terreno plano. Cada região a ser irrigada terá a forma de círculo C_i, com centro p_i, i = 1, 2, 3, de modo que cada círculo intercepta o outro círculo em exatamente um ponto. A distância entre p_1 e p_2 será de 10 metros, de p_1 a p_3 será de 16 metros e o ângulo entre os segmentos \overline{p_1p_2} e \overline{p_1p_3} será de 60^\circ. A área total irrigada, em metro quadrado, será de

  1. A
    40\ \pi.
  2. B
    131\ \pi.
  3. C
    152\ \pi.
  4. D
    171\ \pi.
  5. E
    608\ \pi.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Se cada círculo intercepta o outro em exatamente um ponto, os círculos são tangentes externamente. Então a distância entre dois centros é a soma dos raios.

Primeiro, a distância entre p_2 e p_3 pela lei dos cossenos no triângulo p_1p_2p_3:

d^2 = 10^2 + 16^2 - 2\cdot 10\cdot 16\cos 60^\circ = 100 + 256 - 160 = 196,

logo d = 14 m.

Chamando os raios de r_1, r_2, r_3, as tangências dão:

  1. r_1 + r_2 = 10
  2. r_1 + r_3 = 16
  3. r_2 + r_3 = 14

Somando as três: 2(r_1+r_2+r_3) = 40, então r_1+r_2+r_3 = 20.

Subtraindo cada equação desse total:

  • r_3 = 20 - 10 = 10
  • r_2 = 20 - 16 = 4
  • r_1 = 20 - 14 = 6

A área total é a soma das áreas dos três círculos (como são tangentes, não há sobreposição):

\pi(6^2 + 4^2 + 10^2) = \pi(36 + 16 + 100) = 152\pi\ \text{m}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma os raios (ou usa 10+16+14) e multiplica por π, sem elevar ao quadrado.
  • BErro de conta nos raios ou nos quadrados; não corresponde a 36+16+100.
  • DUsa valores incorretos para a distância p2p3 ou para os raios, resultando em soma de quadrados errada.
  • EUsa os raios como diâmetros ou outro erro de escala; valor muito grande.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Lei dos senos e lei dos cossenos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 30 no caderno Vespertino da UFG 2027

Fonte: UFG 2027 · Vespertino. Prova oficial ↗