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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 da UFG 2027

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Um sólido truncado é obtido cortando-se os cantos de um sólido, retirando-se uma pirâmide de cada canto. Uma tarefa escolar consiste em utilizar um palito de sorvete no lugar de cada aresta de 3 sólidos truncados. Um estudante realizou uma pesquisa e encontrou as seguintes informações sobre as quantidades de faces e de vértices desses 3 sólidos:

  • tetraedro truncado: 8 faces e 12 vértices;
  • cubo truncado: 14 faces e 24 vértices;
  • icosaedro truncado: 32 faces e 60 vértices.

Quantos palitos de sorvete o estudante deverá utilizar nessa tarefa?

  1. A
    54.
  2. B
    96.
  3. C
    144.
  4. D
    150.
  5. E
    156.
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Resolução comentada

Cada palito representa uma aresta, então precisamos contar as arestas dos três sólidos. Como são poliedros convexos, vale a relação de Euler:

V - A + F = 2 \Rightarrow A = V + F - 2

Aplicando a cada sólido:

  1. Tetraedro truncado: A = 12 + 8 - 2 = 18.
  2. Cubo truncado: A = 24 + 14 - 2 = 36.
  3. Icosaedro truncado: A = 60 + 32 - 2 = 90.

Conferindo com a contagem direta: no tetraedro truncado cada vértice tem grau 3, logo A = 12\cdot 3/2 = 18. O mesmo vale para os outros dois, pois todos têm 3 arestas por vértice: 24\cdot 3/2 = 36 e 60\cdot 3/2 = 90. As contas batem.

Total de palitos:

18 + 36 + 90 = 144

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AProvavelmente usa só o icosaedro truncado ou erra a soma; não chega ao total das arestas dos três sólidos.
  • BResultado sem relação com a soma das arestas; não corresponde a nenhum cálculo correto com Euler.
  • DSoma 150 pode vir de esquecer o -2 de Euler em apenas parte das contas, errando o número de arestas.
  • E156 = 20+... vem de somar V+F sem subtrair 2 em cada sólido (20+38+92=150) com erro adicional; não usa A=V+F-2 corretamente.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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Fonte: UFG 2027 · Vespertino. Prova oficial ↗