Questão 44 da UFG 2026

Question

Uma plantação tem dois pivôs centrais que irrigam regiões circulares às margens de uma estrada reta. Para melhor aproveitamento do espaço, um terceiro pivô central será instalado de modo que essas três regiões circulares sejam tangentes externamente duas a duas, e todas elas sejam tangentes à margem da estrada, como apresentado na figura a seguir.

Duas circunferências tangentes entre si, com raios de 225 m e 144 m, tangenciam uma reta horizontal que representa a margem da estrada. Uma terceira circunferência menor, destacada em cinza, tangencia externamente as duas maiores e a reta horizontal.

O ponto de tangência da terceira região, destacada em cinza, com a margem da estrada divide o segmento formado pelos dois pontos de tangência das outras duas regiões com essa estrada.

Qual é a medida do raio, em metro, da terceira região circular?

A
(13/3)^2.
B
(16/3)^2.
C
(17/3)^2.
D
(19/3)^2.
E
(20/3)^2.

Answer 1

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Questão 44 da UFG 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Uma plantação tem dois pivôs centrais que irrigam regiões circulares às margens de uma estrada reta. Para melhor aproveitamento do espaço, um terceiro pivô central será instalado de modo que essas três regiões circulares sejam tangentes externamente duas a duas, e todas elas sejam tangentes à margem da estrada, como apresentado na figura a seguir.

Duas circunferências tangentes entre si, com raios de 225 m e 144 m, tangenciam uma reta horizontal que representa a margem da estrada. Uma terceira circunferência menor, destacada em cinza, tangencia externamente as duas maiores e a reta horizontal.

O ponto de tangência da terceira região, destacada em cinza, com a margem da estrada divide o segmento formado pelos dois pontos de tangência das outras duas regiões com essa estrada.

Qual é a medida do raio, em metro, da terceira região circular?

A
(13/3)^2.
B
(16/3)^2.
C
(17/3)^2.
D
(19/3)^2.
E
(20/3)^2.

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Resolução comentada

Quando duas circunferências de raios R e r são tangentes externamente e ambas tangenciam uma reta, a distância entre os pontos de tangência com a reta é 2\sqrt{Rr}. Isso vem do triângulo retângulo formado pelos centros: a hipotenusa é R+r, um cateto é R-r, e o outro cateto, que é a distância procurada, vale

d=\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr}.

Aplicando às três circunferências, com x sendo o raio da cinza:

Entre as duas grandes: d_1 = 2\sqrt{225\cdot144}=2\cdot15\cdot12=360 m.
Entre a grande (225) e a cinza: d_2 = 2\sqrt{225x}=30\sqrt{x}.
Entre a cinza e a de 144: d_3 = 2\sqrt{144x}=24\sqrt{x}.

Como o ponto de tangência da cinza fica entre os outros dois pontos, d_2+d_3=d_1:

30\sqrt{x}+24\sqrt{x}=360\Rightarrow 54\sqrt{x}=360\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{20}{3}.

Logo x=\left(\dfrac{20}{3}\right)^2=\dfrac{400}{9}\approx 44{,}4 m.

Alternativa E.

Pegadinha: Todas as alternativas têm a forma (k/3)^2; quem esquece de elevar ao quadrado e marca 20/3 erra, pois 20/3 é \sqrt{x}, não o raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor de \sqrt{x} que não satisfaz 54\sqrt{x}=360; resulta de erro na soma das distâncias.
B\sqrt{x}=16/3 não satisfaz a equação das distâncias; valor sem base no cálculo.
C\sqrt{x}=17/3 não satisfaz 54\sqrt{x}=360.
D\sqrt{x}=19/3 não satisfaz 54\sqrt{x}=360.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 44 no caderno Vespertino da UFG 2026

Fonte: UFG 2026 · Vespertino. Prova oficial ↗