Questão 23 (2º semestre) da UFG 2014

Question

Um modelo matemático usado para a ampliação de uma imagem consiste em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de uma matriz escala E_s por uma matriz coluna A, composta pelas coordenadas do ponto P, que forma a imagem que será ampliada. Considerando as matrizes A e E_s dadas por

A = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \text{e} \quad E_s = \begin{bmatrix} E_x & 0 \\ 0 & E_y \end{bmatrix},

em que E_x e E_y são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala, então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação das matrizes E_s e A, é:

A
\begin{bmatrix} xE_x \\ yE_y \end{bmatrix}
B
\begin{bmatrix} E_x + x \\ E_y + y \end{bmatrix}
C
\begin{bmatrix} yE_x \\ xE_y \end{bmatrix}
D
\begin{bmatrix} xE_x & 0 \\ 0 & yE_y \end{bmatrix}
E
\begin{bmatrix} E_x & x \\ y & E_y \end{bmatrix}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 (2º semestre) da UFG 2014

2º semestre · Matemática: Matrizes e determinantes

Um modelo matemático usado para a ampliação de uma imagem consiste em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de uma matriz escala E_s por uma matriz coluna A, composta pelas coordenadas do ponto P, que forma a imagem que será ampliada. Considerando as matrizes A e E_s dadas por

A = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \text{e} \quad E_s = \begin{bmatrix} E_x & 0 \\ 0 & E_y \end{bmatrix},

em que E_x e E_y são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala, então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação das matrizes E_s e A, é:

A
\begin{bmatrix} xE_x \\ yE_y \end{bmatrix}
B
\begin{bmatrix} E_x + x \\ E_y + y \end{bmatrix}
C
\begin{bmatrix} yE_x \\ xE_y \end{bmatrix}
D
\begin{bmatrix} xE_x & 0 \\ 0 & yE_y \end{bmatrix}
E
\begin{bmatrix} E_x & x \\ y & E_y \end{bmatrix}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A nova posição do ponto é Q = E_s \cdot A. Lembre que, no produto de matrizes, cada elemento da matriz resultado é a soma dos produtos dos elementos de uma linha da primeira matriz pelos elementos da coluna da segunda.

Aqui E_s é 2\times 2 e A é 2\times 1, então Q será 2\times 1 (uma matriz coluna, como A).

Linha 1 de E_s vezes a coluna de A: E_x\cdot x + 0\cdot y = xE_x.
Linha 2 de E_s vezes a coluna de A: 0\cdot x + E_y\cdot y = yE_y.

Logo:

Q = \begin{bmatrix} E_x & 0 \\ 0 & E_y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xE_x \\ yE_y \end{bmatrix}

Faz sentido geometricamente: E_x amplia a coordenada x e E_y amplia a coordenada y, cada uma pelo seu fator.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bsoma os fatores às coordenadas, mas o produto de matrizes multiplica, não soma.
Ctroca as coordenadas, multiplicando y por E_x e x por E_y, o que só ocorreria com a diagonal secundária.
Dé uma matriz 2\times2; o produto de 2\times2 por 2\times1 resulta em matriz 2\times1.
Eapenas reorganiza os elementos das matrizes, sem realizar a multiplicação.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Questão 23 no caderno 1ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2014 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗