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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (1º semestre) da UFG 2013

1º semestre · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Durante um ciclo hidrológico completo, considera-se que o volume total de água que passa por uma determinada seção do rio no exutório de uma bacia hidrográfica é igual ao volume de água precipitado na bacia menos o volume de água que volta para a atmosfera por evapotranspiração. Em determinado ano, o volume total de água que passou por essa seção do rio foi de 20 milhões de metros cúbicos e a profundidade média anual nesse ponto do rio foi de 30 metros. No ano seguinte, nesta mesma seção, o volume de água e a profundidade média foram Q e h, respectivamente, como indica o gráfico a seguir.

Gráfico cartesiano cujo eixo horizontal representa o "Volume (milhares de m³)" e o eixo vertical representa a "Profundidade (m)". O gráfico contém um segmento de reta crescente que liga o ponto de coordenadas (20000, 30) ao ponto de coordenadas (Q, h). Esse segmento forma um ângulo de 10° com a horizontal.

Sabendo-se que tanto o volume de água precipitado quanto a perda por evapotranspiração aumentaram, de um ano para o outro, em 0{,}49\% e que o gráfico utiliza a mesma escala para os dois eixos, o valor da profundidade h, em metros, foi de, aproximadamente:

Dados:
\sen(10^\circ) \approx 0{,}17
\cos(10^\circ) \approx 0{,}98

  1. A
    30{,}15
  2. B
    31{,}47
  3. C
    44{,}70
  4. D
    47{,}00
  5. E
    98{,}00
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Resolução comentada

Volume que passa pela seção = precipitação − evapotranspiração. Se as duas grandezas aumentam 0{,}49\%, a diferença também aumenta 0{,}49\% (fator 1{,}0049).

  1. Volume do ano seguinte: Q = 20000 \cdot 1{,}0049 = 20098 (em milhares de m³). Logo, a variação no eixo horizontal é 20098 - 20000 = 98.

  2. O gráfico usa a mesma escala nos dois eixos. Então o segmento é a hipotenusa de um triângulo retângulo com cateto horizontal 98 e cateto vertical h - 30, formando 10^\circ com a horizontal.

  3. Como o ângulo é dado entre a hipotenusa e o cateto horizontal, a hipotenusa d vale:

    \cos 10^\circ = \frac{98}{d} \Rightarrow d = \frac{98}{0{,}98} = 100

  4. O cateto vertical é o oposto ao ângulo:

    h - 30 = d\cdot\sen 10^\circ = 100 \cdot 0{,}17 = 17

  5. Portanto h = 30 + 17 = 47 m.

(Conferindo: \tg 10^\circ \approx 0{,}17/0{,}98, e 98 \cdot 0{,}17/0{,}98 = 17, o que confirma o resultado.)

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E (98) engana quem para na variação do volume, e a A/B atraem quem aplica o percentual à profundidade em vez de usar o ângulo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma apenas 0{,}15, como se a variação fosse uma fração pequena de 30, sem usar a trigonometria.
  • BAplica 0{,}49\% ou o fator de aumento diretamente à profundidade, sem usar o ângulo.
  • CResultado sem base no cálculo; não corresponde a nenhuma etapa correta com seno e cosseno.
  • EToma a variação do volume (98) como se fosse a profundidade h.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Aumentos, descontos e variação percentual.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2013 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗