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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 (1º semestre) da UFG 2013

1º semestre · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Um cone circular reto de madeira, homogêneo, com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua livremente na água parada em um recipiente, de maneira que o eixo do cone fica vertical e o vértice aponta para baixo, como representado na figura a seguir.

Cone invertido flutuando com vértice apontado para baixo, altura total H = 20 e raio do topo R = 10, com parte submersa de profundidade h e raio r da superfície da água.

Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, relativa à superfície da água, por r o raio do círculo formado pelo contato da superfície da água com o cone e sabendo-se que as densidades da água e da madeira são 1{,}0\text{ g/cm}^3 e 0{,}6\text{ g/cm}^3, respectivamente, os valores de r e h, em centímetros, são, aproximadamente:

Dados:
\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44
\sqrt[3]{5} \approx 1{,}71

  1. A
    5,8 e 11,6
  2. B
    8,2 e 18,0
  3. C
    8,4 e 16,8
  4. D
    8,9 e 15,0
  5. E
    9,0 e 18,0
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Resolução comentada

Pelo princípio de Arquimedes, o cone flutua quando o empuxo iguala o peso. Isso significa que a massa de água deslocada é igual à massa do cone, ou seja, \rho_{água}V_{sub}=\rho_{madeira}V_{total}.

A parte submersa é um cone semelhante ao cone inteiro, com o mesmo vértice. Por isso a razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança:

\frac{V_{sub}}{V_{total}}=\left(\frac{h}{H}\right)^3=\frac{\rho_{madeira}}{\rho_{água}}=\frac{0{,}6}{1{,}0}=\frac{3}{5}
  1. Razão de semelhança: \dfrac{h}{20}=\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5}}\approx\dfrac{1{,}44}{1{,}71}\approx 0{,}842.
  2. Profundidade: h\approx 20\cdot 0{,}842\approx 16{,}8\ \text{cm}.
  3. O raio também segue a mesma razão: r=10\cdot 0{,}842\approx 8{,}4\ \text{cm}.

Portanto r\approx 8{,}4 cm e h\approx 16{,}8 cm.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a razão 0,58, que é aproximadamente 0,6 vezes 0,97, em vez da raiz cúbica; trata a razão de semelhança como se fosse a razão de densidades (0,6 dá 6 e 12).
  • BValores sem relação com a razão correta \sqrt[3]{3/5}; h = 18 daria razão 0,9, o que não confere com a densidade 0,6.
  • Dh = 15 corresponde à razão 0,75, que não é \sqrt[3]{0{,}6}, e r = 8,9 não é proporcional a h.
  • ERazão 0,9 para r e h, que equivale a um volume de 0,73 do total, não 0,6.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Cone e tronco de cone.

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Ver como caiu na prova Questão 27 no caderno 1ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2013 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗