Questão 28 (2º semestre) da UFG 2013

Question

A soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, com primeiro termo a e razão r, pode ser calculada por

S_n = an(a+nr-r) + \frac{nr^2}{6}(2n^2-3n+1)

De acordo com o exposto, uma expressão para a soma, 1 + 4 + 9 + \cdots + n^2, dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos, é:

A
\frac{(n^2+1)(2n+1)}{6}
B
\frac{(n+1)(n+2)(2n+1)}{6}
C
\frac{n(n+1)(n+2)}{6}
D
\frac{(n+1)^2(2n+1)}{6}
E
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (2º semestre) da UFG 2013

2º semestre · Matemática: Progressão aritmética

A soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, com primeiro termo a e razão r, pode ser calculada por

S_n = an(a+nr-r) + \frac{nr^2}{6}(2n^2-3n+1)

De acordo com o exposto, uma expressão para a soma, 1 + 4 + 9 + \cdots + n^2, dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos, é:

A
\frac{(n^2+1)(2n+1)}{6}
B
\frac{(n+1)(n+2)(2n+1)}{6}
C
\frac{n(n+1)(n+2)}{6}
D
\frac{(n+1)^2(2n+1)}{6}
E
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

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Resolução comentada

Os números 1, 2, 3, \dots, n formam uma PA com primeiro termo a=1 e razão r=1. A soma dos quadrados deles é justamente 1+4+9+\cdots+n^2. Basta substituir esses valores na fórmula dada.

Primeira parcela: an(a+nr-r) = 1\cdot n\,(1+n-1) = n\cdot n = n^2.
Segunda parcela: \dfrac{nr^2}{6}(2n^2-3n+1) = \dfrac{n}{6}(2n^2-3n+1).
Some as duas, com denominador 6:

S_n = \frac{6n^2 + n(2n^2-3n+1)}{6} = \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \frac{n(2n^2+3n+1)}{6}

Fatore o trinômio. As raízes de 2n^2+3n+1 são n=-1 e n=-\tfrac12, então 2n^2+3n+1=(n+1)(2n+1).

S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Teste com n=2: 1+4=5 e \dfrac{2\cdot3\cdot5}{6}=5. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

APara n=2 dá \frac{5\cdot5}{6}, que não é 5; a expressão não vem da fatoração correta.
BPara n=1 dá \frac{2\cdot3\cdot3}{6}=3, e a soma correta é 1; o fator n foi trocado por n+2.
CÉ a fórmula de outra soma, \frac{n(n+1)(n+2)}{6}; para n=2 dá 4, não 5.
DPara n=1 dá \frac{4\cdot3}{6}=2, não 1; o fator n foi trocado por n+1.

Assuntos: Progressão aritmética, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2013 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗