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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 (2º semestre) da UFG 2013

2º semestre · Matemática: Esfera

A figura a seguir representa um modelo esquemático aproximado para a estrutura interna da Terra em camadas concêntricas, da superfície ao centro, indicando as profundidades aproximadas das transições entre as camadas.

Modelo esquemático em formato de setor circular representando a estrutura interna da Terra dividida em quatro camadas concêntricas em tons de cinza e branco, com as profundidades de transição indicadas na lateral esquerda, do arco superior ao vértice inferior: 0 km, 130 km, 220 km, 2900 km e 6350 km.

Segundo modelos sísmicos, acredita-se que uma destas camadas é formada, predominantemente, por minerais metálicos, em altas temperaturas, e por duas partes, uma fluida e outra sólida, devido à altíssima pressão. A fração do volume da Terra ocupada por esta camada está entre

  1. A
    \frac{1}{8} e \frac{1}{5}
  2. B
    \frac{1}{5} e \frac{1}{4}
  3. C
    \frac{1}{4} e \frac{1}{2}
  4. D
    \frac{1}{2} e \frac{2}{3}
  5. E
    \frac{2}{3} e \frac{3}{4}
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Resolução comentada

A camada descrita (minerais metálicos, parte fluida e parte sólida) é o núcleo da Terra, que na figura começa a 2900 km de profundidade e vai até o centro, a 6350 km.

Como as profundidades são medidas a partir da superfície, o raio da Terra é R = 6350\ \text{km}. O raio do núcleo é a distância do centro até a profundidade de 2900 km:

  1. r = 6350 - 2900 = 3450\ \text{km}.

O volume de uma esfera é proporcional ao cubo do raio, então a fração do volume ocupada pelo núcleo é:

  1. \dfrac{V_{núcleo}}{V_{Terra}} = \left(\dfrac{3450}{6350}\right)^3 = \left(\dfrac{69}{127}\right)^3.

Aproximando: \dfrac{69}{127} \approx 0{,}543.

  1. 0{,}543^3 \approx 0{,}543 \cdot 0{,}295 \approx 0{,}160.

Como \frac{1}{8} = 0{,}125 e \frac{1}{5} = 0{,}2, temos 0{,}125 < 0{,}160 < 0{,}2.

Logo, a fração está entre \frac{1}{8} e \frac{1}{5}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa a razão dos raios (≈0,54) sem elevar ao cubo; volume é proporcional ao cubo do raio. Também é preciso notar que o raio do núcleo é 6350 − 2900, não 2900.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BSubestima o expoente ou o raio; o valor 0,16 está abaixo de 1/5, não entre 1/5 e 1/4.
  • CUsa a razão dos raios (≈0,54) ou das áreas em vez do volume, o que dá valores bem maiores.
  • DUsa a razão dos raios, 0,54, que cai entre 1/2 e 2/3, esquecendo de elevar ao cubo.
  • EUsa a razão 2900/... ou o manto, valores bem maiores que o do núcleo.

Assuntos: Esfera, Semelhança e Teorema de Tales.

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Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno 1ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2013 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗