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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 (1º semestre) da UFG 2013

1º semestre · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Alguns agricultores relataram que, inexplicavelmente, suas plantações apareceram parcialmente queimadas e a região consumida pelo fogo tinha o padrão indicado na figura a seguir, correspondendo às regiões internas de três círculos, mutuamente tangentes, cujos centros são os vértices de um triângulo com lados medindo 30, 40 e 50 metros.

Três círculos de tamanhos distintos mutuamente tangentes externamente dois a dois.

Nas condições apresentadas, a área da região queimada, em \text{m}^2, é igual a:

  1. A
    1100\pi
  2. B
    1200\pi
  3. C
    1300\pi
  4. D
    1400\pi
  5. E
    1550\pi
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Resolução comentada

Quando dois círculos são tangentes externamente, a distância entre os centros é a soma dos raios. Chamando os raios de r_1, r_2 e r_3, os lados do triângulo dão o sistema:

  1. r_1 + r_2 = 30
  2. r_1 + r_3 = 40
  3. r_2 + r_3 = 50

Somando as três equações: 2(r_1+r_2+r_3) = 120, logo r_1+r_2+r_3 = 60.

Subtraindo cada equação desse total:

  • r_3 = 60 - 30 = 30
  • r_2 = 60 - 40 = 20
  • r_1 = 60 - 50 = 10

Conferindo: 10+20=30, 10+30=40, 20+30=50. Os valores estão certos.

A região queimada é a soma das áreas dos três círculos, e como eles são tangentes, não há sobreposição:

A = \pi(10^2 + 20^2 + 30^2) = \pi(100 + 400 + 900) = 1400\pi\ \text{m}^2

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a soma 100+400+900; provável erro nos raios ou na soma das áreas.
  • BNão corresponde à soma correta dos quadrados dos raios 10, 20 e 30.
  • CResultado de erro de cálculo nos raios ou nos quadrados, sem correspondência com os valores corretos.
  • EValor acima do correto; não corresponde à soma \pi(100+400+900).

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Ver como caiu na prova Questão 25 no caderno 1ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2013 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗