Questão 29 (2º semestre) da UFG 2011

Question

A figura a seguir representa uma abelha, no ponto P, entrando nos alvéolos hexagonais de sua colmeia.

Esquema de alvéolos hexagonais com pontos identificados por letras e conectados por setas: o ponto P conecta-se ao ponto A, que se ramifica para B e C; de B partem setas para C e D; de C partem setas para D e E; de D partem caminhos para E e F; de E partem caminhos para F e G; e de F partem caminhos para G e H; de G há uma seta para H.

Considere que a abelha caminhe sobre as linhas tracejadas, somente no sentido indicado pelas setas, e nunca passe mais de uma vez pelo mesmo ponto. Nestas condições, a abelha tem apenas uma maneira de ir de P a A, uma maneira de ir de P a B, duas maneiras de ir de P a C etc. Continuando esta sequência numérica, o número de maneiras de ir de P a E, de P a F e de P a G, respectivamente, é:

A
3, 4 e 5
B
4, 5 e 6
C
4, 8 e 12
D
5, 8 e 13
E
5, 10 e 13

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 (2º semestre) da UFG 2011

2º semestre · Matemática: Princípio fundamental da contagem

A figura a seguir representa uma abelha, no ponto P, entrando nos alvéolos hexagonais de sua colmeia.

Esquema de alvéolos hexagonais com pontos identificados por letras e conectados por setas: o ponto P conecta-se ao ponto A, que se ramifica para B e C; de B partem setas para C e D; de C partem setas para D e E; de D partem caminhos para E e F; de E partem caminhos para F e G; e de F partem caminhos para G e H; de G há uma seta para H.

Considere que a abelha caminhe sobre as linhas tracejadas, somente no sentido indicado pelas setas, e nunca passe mais de uma vez pelo mesmo ponto. Nestas condições, a abelha tem apenas uma maneira de ir de P a A, uma maneira de ir de P a B, duas maneiras de ir de P a C etc. Continuando esta sequência numérica, o número de maneiras de ir de P a E, de P a F e de P a G, respectivamente, é:

A
3, 4 e 5
B
4, 5 e 6
C
4, 8 e 12
D
5, 8 e 13
E
5, 10 e 13

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para chegar a um ponto, a abelha vem sempre de um dos pontos que têm seta apontando para ele. Então o número de caminhos até o ponto é a soma dos números de caminhos até esses pontos de origem.

Pelas setas da figura:

A recebe só de P: 1 maneira.
B recebe de A: 1 maneira.
C recebe de A e de B: 1+1=2 maneiras.
D recebe de B e de C: 1+2=3 maneiras.
E recebe de C e de D: 2+3=5 maneiras.
F recebe de D e de E: 3+5=8 maneiras.
G recebe de E e de F: 5+8=13 maneiras.

A sequência é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, que é a de Fibonacci. Como cada ponto só é alcançado por setas que avançam, nenhum caminho repete ponto, e a soma vale.

Logo, para E, F e G: 5, 8 e 13.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASequência 3, 4, 5 não segue a soma dos dois pontos anteriores; só acerta o valor de D.
BTrata a sequência como crescendo de 1 em 1 (4, 5, 6), ignorando que cada termo é soma dos dois anteriores.
CUsa progressão de razão 4 ou duplicações (4, 8, 12), sem respeitar as setas da figura.
EAcerta E e G, mas F = 10 é incorreto, pois F = 3 + 5 = 8.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 29 no caderno 1ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2011 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗