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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 (1º semestre) da UFG 2011

1º semestre · Matemática: Cone e tronco de cone

Leia o texto a seguir.

Meu tio lançou-me um olhar triunfante.
— À cratera! — disse.
A cratera do Sneffels representava um cone invertido, cujo orifício deveria ter meia légua de diâmetro. A sua profundidade eu calculava em dois mil e duzentos pés. Que se imagine tamanho recipiente cheio de trovões e de chamas. O fundo do funil não devia medir mais de quatrocentos e quarenta pés de diâmetro, de modo que as suas encostas, bastante suaves, permitiam chegar facilmente à parte interior. Involuntariamente, comparei a cratera à boca de um imenso bacamarte e a comparação me assustou.

VERNE, Júlio. Viagem ao centro da Terra. Rio de Janeiro: Otto Pierre Editores, 1982. p. 114-115. [Adaptado]

Na sequência desta narrativa, as personagens descerão a encosta da cratera alcançando seu fundo. Considere que o cone invertido, como a personagem descreve o interior da cratera, é um tronco de cone circular reto com bases paralelas. Nessas condições, ao estimar a menor distância a ser percorrida de um ponto na borda do orifício superior da cratera até um ponto na borda do orifício inferior, ou seja, a medida da geratriz desse tronco, a personagem obterá uma medida, em léguas, de aproximadamente

Dado
1 légua = 22.000 pés
  1. A
    0,22
  2. B
    0,24
  3. C
    0,26
  4. D
    0,28
  5. E
    0,30
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A geratriz de um tronco de cone reto é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura do tronco e a diferença entre os raios das bases. Vamos converter tudo para pés e depois para léguas.

  1. Diâmetro superior: meia légua = 11\,000 pés, então R = 5\,500 pés.
  2. Diâmetro inferior: 440 pés, então r = 220 pés.
  3. Diferença dos raios: R - r = 5\,500 - 220 = 5\,280 pés.
  4. Altura (profundidade): h = 2\,200 pés.

Por Pitágoras:

g^2 = 5\,280^2 + 2\,200^2

Colocando 440 em evidência: 5\,280 = 12\cdot 440 e 2\,200 = 5\cdot 440. Logo

g = 440\sqrt{12^2 + 5^2} = 440\sqrt{169} = 440\cdot 13 = 5\,720\ \text{pés}

Convertendo para léguas:

g = \frac{5\,720}{22\,000} = 0{,}26\ \text{légua}

Portanto, a geratriz mede 0{,}26 légua.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem usa apenas a diferença dos raios (5.280 pés ≈ 0,24 légua) e esquece a altura; também há a armadilha de usar diâmetros em vez de raios.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor menor que a própria diferença dos raios em léguas (0,24), logo impossível para a hipotenusa.
  • BCorresponde aproximadamente a usar só a diferença dos raios (5.280 pés = 0,24 légua), ignorando a altura.
  • DSuperestima a geratriz; não decorre de nenhuma conta correta com os dados.
  • ESuperestima a geratriz; seria cerca de 6.600 pés, e a conta correta dá 5.720 pés.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Unidades de medida e conversões, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Ver como caiu na prova Questão 27 no caderno 1ª etapa da UFG 2011

Fonte: UFG 2011 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗