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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 (2º semestre) da UFG 2010

2º semestre · Matemática: Progressão aritmética

Uma empresa fabrica tubos de aço com diâmetro 100 mm e armazena-os empilhando-os em “camadas”, conforme ilustrado na figura abaixo.

Tubos cilíndricos empilhados em três camadas sucessivas apoiadas nos vãos da camada anterior, com setas apontando para os centros das bases em cada nível indicando o termo "Camadas"

Se a altura dessa pilha de tubos deve ser de, no máximo, 2 m, a quantidade máxima de “camadas” que deve ser empilhada é:

Use \sqrt{3}=1{,}73

  1. A
    18
  2. B
    19
  3. C
    22
  4. D
    26
  5. E
    30
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Resolução comentada

Vista de frente, cada tubo é um círculo de diâmetro 100\ \text{mm}, isto é, raio 50\ \text{mm}. Os tubos de uma camada se tocam, e os da camada de cima se apoiam nos vãos da camada de baixo.

Ligando os centros de dois tubos vizinhos da camada de baixo e o centro do tubo que se apoia sobre eles, forma-se um triângulo equilátero de lado 100\ \text{mm} (dois raios mais dois raios). A distância vertical entre os centros de duas camadas consecutivas é a altura desse triângulo:

h=\frac{100\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}=50\cdot 1{,}73=86{,}5\ \text{mm}

Para n camadas, a altura total é:

  1. A primeira camada ocupa 100\ \text{mm} (diâmetro de um tubo).
  2. Cada uma das n-1 camadas seguintes acrescenta 86{,}5\ \text{mm}.
H = 100 + (n-1)\cdot 86{,}5 \le 2000
(n-1)\cdot 86{,}5 \le 1900 \Rightarrow n-1 \le \frac{1900}{86{,}5}\approx 21{,}97

Logo n-1\le 21, ou seja, n\le 22.

Conferindo: com n=22, H=100+21\cdot 86{,}5=1916{,}5\ \text{mm}\le 2000\ \text{mm}. Com n=23, H=100+22\cdot 86{,}5=2003\ \text{mm}>2000\ \text{mm}, o que não serve.

A quantidade máxima é 22 camadas.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem divide 2000 por 86,5 e arredonda mal, ou esquece que a primeira camada ocupa 100 mm inteiros; o certo é 100 + (n−1)·86,5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base em cálculo correto; não corresponde à altura de 86{,}5 mm por camada.
  • BTambém não decorre do cálculo; ignora a relação 100+(n-1)\cdot 86{,}5\le 2000.
  • DUsa espaçamento de cerca de 75 mm por camada, menor que o correto.
  • EDivide 2000 por aproximadamente 67 mm, espaçamento menor que o real.

Assuntos: Progressão aritmética, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 30 no caderno 1ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2010 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗