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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 (2º semestre) da UFG 2010

2º semestre · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

O para-brisa frontal de um carro tem formato plano retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 m de altura. Os limpadores de para-brisa desse carro funcionam no sistema oposto, ou seja, contêm duas palhetas idênticas, fixadas nos cantos inferiores do para-brisa, como mostra a figura.

Esquema do para-brisa retangular com comprimento de 1,41 m e altura de 1 m. Duas palhetas partem dos vértices inferiores e convergem no ponto A, formando entre si o ângulo θ. Setas curvas indicam o movimento das palhetas e regiões sombreadas em cinza delimitam a área de varredura.

Ao serem acionadas, as palhetas fazem um movimento em sentido circular para limpar o vidro. Considere que as pontas das palhetas ficam rentes uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o menor ângulo formado entre as palhetas é \theta, tal que \cos\theta = -0{,}125.
Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta é, em metros,

  1. A
    0,80
  2. B
    0,94
  3. C
    1,00
  4. D
    1,08
  5. E
    1,41
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

As duas palhetas, de mesmo tamanho L, partem dos cantos inferiores do para-brisa e se encontram em A. Elas formam, junto com a base de 1{,}41 m, um triângulo isósceles de lados L, L e 1{,}41. O ângulo \theta está entre os dois lados iguais, no vértice A.

Pela lei dos cossenos, o lado oposto a \theta vale:

1{,}41^2 = L^2 + L^2 - 2\cdot L\cdot L\cos\theta

Substituindo \cos\theta = -0{,}125:

  1. 1{,}41^2 = 2L^2 - 2L^2(-0{,}125)
  2. 1{,}41^2 = 2L^2 + 0{,}25L^2 = 2{,}25L^2
  3. L^2 = \dfrac{1{,}41^2}{2{,}25}
  4. L = \dfrac{1{,}41}{1{,}5} = 0{,}94 m

Confira com a altura: o triângulo isósceles tem altura \sqrt{0{,}94^2 - 0{,}705^2}\approx 0{,}62 m. O ponto A fica então a cerca de 0{,}62 m da base, abaixo do topo do vidro (1 m), o que é coerente com a figura.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a lei dos cossenos; não resulta de 1{,}41/1{,}5.
  • CConfunde o tamanho da palheta com a altura do para-brisa (1 m).
  • DErra o sinal do cosseno, usando 2L^2(1-0{,}125), ou erra a conta da raiz.
  • EConfunde a palheta com o comprimento do para-brisa (1,41 m).

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 29 no caderno 1ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2010 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗