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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (2º semestre) da UFG 2010

2º semestre · Matemática: Permutações

Num episódio de uma série policial de televisão, um agente secreto encontra-se diante do desafio de descobrir a senha de quatro dígitos digitada no teclado numérico, instalado na porta de entrada de um laboratório. Para isso, o agente utiliza o seguinte artifício: borrifa um spray sobre o teclado, fazendo com que os algarismos recém-digitados para abrir a porta fiquem destacados, como mostra a figura.

Teclado numérico com 9 botões dispostos em 3 linhas e 3 colunas: na primeira linha, 1, 2 e 3; na segunda linha, 4, 5 e 6; na terceira linha, 7, 8 e 9. Os algarismos 1, 5 e 7 estão destacados com círculos cinzas ao redor.

Para sua surpresa, apenas três dígitos são ressaltados pelo spray, indicando que um dos dígitos aparece duas vezes na senha.

Com base nestas informações, a quantidade de sequências de quatro dígitos que podem ser encontradas utilizando o artifício do agente secreto é a seguinte:

  1. A
    4
  2. B
    13
  3. C
    16
  4. D
    24
  5. E
    36
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Resolução comentada

A senha tem quatro dígitos e só três algarismos aparecem: 1, 5 e 7. Logo, os três aparecem pelo menos uma vez, e um deles se repete exatamente duas vezes. Os outros dois aparecem uma vez cada.

O problema vira contar anagramas de uma lista com um algarismo repetido, em duas etapas:

  1. Escolher qual algarismo se repete: são 3 possibilidades (1, 5 ou 7).
  2. Para cada escolha, contar as ordens possíveis dos 4 dígitos. Por exemplo, com 1, 1, 5, 7, temos permutação com repetição:
\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12
  1. Multiplicar: 3\cdot 12 = 36.

Conferindo por outro caminho: escolhemos 2 das 4 posições para o algarismo repetido, \binom{4}{2}=6. Os 2 algarismos restantes ocupam as 2 posições que sobram de 2!=2 maneiras. Isso dá 6\cdot 2=12 por algarismo repetido, e 3\cdot12=36 no total.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem faz 4!=24, esquecendo que há um dígito repetido e que o repetido pode ser qualquer um dos três.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANúmero sem relação com a contagem; ignora a ordem dos dígitos e a escolha do repetido.
  • BNão corresponde a nenhuma contagem correta do problema.
  • CEquivale a 4^2 e não considera as permutações com repetição.
  • DCalcula 4! como se os quatro dígitos fossem distintos, sem dividir por 2! e sem multiplicar por 3.

Assunto: Permutações.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2010 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗