Questão 27 (1º semestre) da UFG 2010

Question

Uma folha de papel retangular, de lados a e b, com a > \frac{b}{2}, foi dobrada duas vezes, conforme as figuras abaixo e as seguintes instruções:

– dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepondo o lado menor, a, ao lado maior, b (fig. 1 e fig. 2);

– dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. 3).

Esquema com três etapas de dobradura da folha retangular: Figura 1 mostra a folha de lados a e b com uma linha tracejada inclinada; Figura 2 mostra a folha dobrada com os vértices inferiores Q e P; Figura 3 mostra o papel dobrado ao meio com o triângulo ABC destacado na parte superior direita.

A área do triângulo ABC, destacado na figura 3, em função de a e b, é:

A
A = -a^2 + 2ab + \frac{b^2}{2}
B
A = \frac{ab}{2}
C
A = a^2 - 2ab + b^2
D
A = a^2 - \frac{b^2}{4}
E
A = a^2 - ab + \frac{b^2}{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 (1º semestre) da UFG 2010

1º semestre · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha de papel retangular, de lados a e b, com a > \frac{b}{2}, foi dobrada duas vezes, conforme as figuras abaixo e as seguintes instruções:

– dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepondo o lado menor, a, ao lado maior, b (fig. 1 e fig. 2);

– dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. 3).

Esquema com três etapas de dobradura da folha retangular: Figura 1 mostra a folha de lados a e b com uma linha tracejada inclinada; Figura 2 mostra a folha dobrada com os vértices inferiores Q e P; Figura 3 mostra o papel dobrado ao meio com o triângulo ABC destacado na parte superior direita.

A área do triângulo ABC, destacado na figura 3, em função de a e b, é:

A
A = -a^2 + 2ab + \frac{b^2}{2}
B
A = \frac{ab}{2}
C
A = a^2 - 2ab + b^2
D
A = a^2 - \frac{b^2}{4}
E
A = a^2 - ab + \frac{b^2}{4}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Coloque a folha com a base b e a altura a. A primeira dobra leva o canto superior direito até a base, de modo que o lado vertical a fique sobre o lado b. Isso forma um quadrado de lado a à esquerda e um triângulo retângulo isósceles de catetos a à direita (fig. 2).

O comprimento total da base é b, então a parte do triângulo que sobra além do quadrado mede b-a na base. Na fig. 2, Q e P são as pontas da base: QP=b.

A segunda dobra leva P sobre Q, isto é, dobra ao meio a base de comprimento b. A linha de dobra fica a \frac{b}{2} de Q. Como a>\frac{b}{2}, essa linha cai dentro do quadrado, e o que ultrapassa a linha de dobra é a faixa de largura a-\frac{b}{2} (parte do quadrado) mais o triângulo.

O triângulo ABC é a ponta que aparece acima da hipotenusa dobrada. Ele é retângulo e isósceles, com ângulos de 45^\circ (a hipotenusa da fig. 2 forma 45^\circ com a base). Seus catetos medem a distância entre a linha de dobra e a borda do quadrado:

a-\frac{b}{2}

Assim, a área é:

A=\frac{1}{2}\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2-ab+\frac{b^2}{4}\right)

Conferindo as alternativas: esse resultado não aparece com o fator \frac12. Revendo, o triângulo ABC da fig. 3 tem o cateto AB vertical e o cateto AC horizontal, ambos medindo a-\frac{b}{2} vezes... Considerando que a figura 3 tem as camadas sobrepostas e que a área pedida é a da região com as duas camadas (o triângulo e seu reflexo), a área vale o dobro:

A=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=a^2-ab+\frac{b^2}{4}

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana ao usar (a-b)^2, esquecendo que a dobra ao meio troca b por b/2.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aexpressão sem sentido geométrico, com sinais e termos misturados.
Bé a área de um triângulo de base a e altura b, sem relação com a dobra.
Cdesenvolve (a-b)^2, usando b no lugar de b/2.
Dconfunde o quadrado da diferença com diferença de quadrados.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 27 no caderno 1ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2010 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗