Questão 26 (2º semestre) da UFG 2010

Question

Problemas matemáticos encontrados em diversas tábuas da Antiga Babilônia, sobretudo as registradas no texto cuneiforme intitulado Plimpton 322 (por volta de 1800 a.C.), mostram que essa civilização já conhecia o Teorema de Pitágoras e o utilizava para estudar os lados, a e b, de um retângulo, a sua área, A, e sua diagonal, d.

Retângulo de base a, altura b e diagonal d traçada do vértice superior esquerdo ao inferior direito

Uma instrução encontrada nesse texto cuneiforme é a seguinte:

I. Multiplique a área por dois.
II. Eleve ao quadrado a diagonal.
III. Subtraia, do valor encontrado em II, o encontrado em I.
IV. Extraia a raiz quadrada desse resultado e o divida por dois.
V. Ache a quarta parte do valor encontrado em III, adicione a área e extraia a raiz quadrada do resultado.
VI. Some o valor encontrado em IV com o encontrado em V.

Efetuando o processo descrito acima, encontra-se uma expressão que pode ser escrita, em função de a e b, como:

A
a
B
ab
C
a^2 + b^2
D
\frac{3a - b}{2}
E
\sqrt{6ab - a^2 - b^2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 (2º semestre) da UFG 2010

2º semestre · Matemática: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração

Problemas matemáticos encontrados em diversas tábuas da Antiga Babilônia, sobretudo as registradas no texto cuneiforme intitulado Plimpton 322 (por volta de 1800 a.C.), mostram que essa civilização já conhecia o Teorema de Pitágoras e o utilizava para estudar os lados, a e b, de um retângulo, a sua área, A, e sua diagonal, d.

Retângulo de base a, altura b e diagonal d traçada do vértice superior esquerdo ao inferior direito

Uma instrução encontrada nesse texto cuneiforme é a seguinte:

I. Multiplique a área por dois.
II. Eleve ao quadrado a diagonal.
III. Subtraia, do valor encontrado em II, o encontrado em I.
IV. Extraia a raiz quadrada desse resultado e o divida por dois.
V. Ache a quarta parte do valor encontrado em III, adicione a área e extraia a raiz quadrada do resultado.
VI. Some o valor encontrado em IV com o encontrado em V.

Efetuando o processo descrito acima, encontra-se uma expressão que pode ser escrita, em função de a e b, como:

A
a
B
ab
C
a^2 + b^2
D
\frac{3a - b}{2}
E
\sqrt{6ab - a^2 - b^2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Use A = ab e, pelo Teorema de Pitágoras, d^2 = a^2 + b^2. Agora siga cada passo da instrução:

Área vezes dois: 2ab.
Diagonal ao quadrado: a^2 + b^2.
Subtração (II − I): a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2.
Raiz quadrada do resultado dividida por 2: \dfrac{\sqrt{(a-b)^2}}{2} = \dfrac{|a-b|}{2}.
Quarta parte do valor de III: \dfrac{(a-b)^2}{4}. Somando a área: \dfrac{(a-b)^2}{4} + ab = \dfrac{a^2 - 2ab + b^2 + 4ab}{4} = \dfrac{(a+b)^2}{4}. A raiz quadrada é \dfrac{a+b}{2}.
Soma de IV e V: \dfrac{|a-b|}{2} + \dfrac{a+b}{2}.

Na figura, a base a é maior que a altura b, então |a-b| = a-b. Assim:

\frac{a-b}{2} + \frac{a+b}{2} = \frac{2a}{2} = a

O processo devolve o maior lado do retângulo, que é a.

Alternativa A.

Pegadinha: Ao extrair \sqrt{(a-b)^2} é preciso usar o módulo |a-b|; como a>b na figura, vale a-b. Usar b-a leva à alternativa D, que engana.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bab é a área, que aparece só como parcela intermediária no passo V.
Ca^2+b^2 é o quadrado da diagonal, obtido no passo II e não o resultado final.
DResulta de erro de sinal ao somar \frac{a-b}{2} com \frac{a+b}{2} ou de usar b-a no módulo.
ENão decorre de nenhum passo; mistura termos de d^2-2A com sinais trocados.

Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 26 no caderno 1ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2010 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗