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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 (2º semestre) da UFG 2010

2º semestre · Matemática: Sistemas lineares

O dono de uma loja de brinquedos gastará R$ 75.000,00 para comprar 5.000 unidades, entre bolas, jogos e bonecas, de um fabricante. O custo unitário das bolas é R$ 10,00 e dos jogos, R$ 15,00, enquanto o preço das bonecas ainda está em negociação com o fabricante. O dono da loja não sabe ainda qual a quantidade exata que irá comprar de cada brinquedo, pois isso depende da venda de seu estoque, mas sabe que a quantidade de bolas deve ser o dobro da quantidade de bonecas.

Com base nestas informações, o preço unitário de cada boneca, para que as quantidades de cada brinquedo que o dono da loja pode adquirir nesta compra fiquem indeterminadas, deve ser:

  1. A
    R$ 10,00
  2. B
    R$ 15,00
  3. C
    R$ 20,00
  4. D
    R$ 25,00
  5. E
    R$ 30,00
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Resolução comentada

Sejam b = bolas, j = jogos e n = bonecas, e p o preço de cada boneca. As informações dão o sistema:

  1. b + j + n = 5000
  2. 10b + 15j + pn = 75000
  3. b = 2n

Substituindo b = 2n nas duas primeiras equações:

3n + j = 5000 \Rightarrow j = 5000 - 3n
20n + 15j + pn = 75000

Substituindo j na última:

20n + 15(5000 - 3n) + pn = 75000
20n + 75000 - 45n + pn = 75000
(p - 25)n = 0

Se p \neq 25, a única solução é n = 0. Daí b = 0 e j = 5000, e o sistema fica determinado.

Se p = 25, a equação vira 0 \cdot n = 0, verdadeira para qualquer n. Então n é livre (respeitando b, j e n inteiros não negativos, ou seja, 0 \le n \le 1666), e há infinitas soluções possíveis. Esse é o caso de quantidades indeterminadas.

Logo, a boneca deve custar R$ 25,00.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom p=10 a equação fica -15n=0, o que força n=0 e deixa a solução única.
  • BCom p=15 resulta -10n=0, então n=0 e a solução é única.
  • CCom p=20 resulta -5n=0, então n=0 e a solução é única.
  • ECom p=30 resulta 5n=0, então n=0 e a solução é única.

Assunto: Sistemas lineares.

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Ver como caiu na prova Questão 23 no caderno 1ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2010 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗