Questão 28 (2º semestre) da UFG 2009

Question

Um polígono pode ser representado por uma matriz F_{2\times n}, onde n é o número de vértices e as coordenadas dos seus vértices são as colunas dessa matriz. Assim, a matriz F_{2\times 6} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 6 & 6 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & 4 & -2 & -4 & -2 \end{bmatrix} representa o polígono da figura abaixo.

Plano cartesiano com eixos x e y mostrando um polígono de seis vértices com coordenadas (0, 2), (2, 6), (6, 4), (6, -2), (4, -4) e (2, -2)

Em computação gráfica utiliza-se de transformações geométricas para realizar movimentos de figuras e objetos na tela do computador. Essas transformações geométricas podem ser representadas por uma matriz T_{2\times 2}. Fazendo-se o produto das matrizes T_{2\times 2} \times F_{2\times n} obtém-se uma matriz que representa a figura transformada, que pode ser uma simetria, translação, rotação ou dilatação da figura original.

Considerando a transformação geométrica representada pela matriz

T_{2\times 2} = \begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & -3/2 \end{bmatrix}

qual é a figura transformada do polígono representado pela matriz F_{2\times 6} dada anteriormente?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (2º semestre) da UFG 2009

2º semestre · Matemática: Matrizes e determinantes

Um polígono pode ser representado por uma matriz F_{2\times n}, onde n é o número de vértices e as coordenadas dos seus vértices são as colunas dessa matriz. Assim, a matriz F_{2\times 6} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 6 & 6 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & 4 & -2 & -4 & -2 \end{bmatrix} representa o polígono da figura abaixo.

Plano cartesiano com eixos x e y mostrando um polígono de seis vértices com coordenadas (0, 2), (2, 6), (6, 4), (6, -2), (4, -4) e (2, -2)

Em computação gráfica utiliza-se de transformações geométricas para realizar movimentos de figuras e objetos na tela do computador. Essas transformações geométricas podem ser representadas por uma matriz T_{2\times 2}. Fazendo-se o produto das matrizes T_{2\times 2} \times F_{2\times n} obtém-se uma matriz que representa a figura transformada, que pode ser uma simetria, translação, rotação ou dilatação da figura original.

Considerando a transformação geométrica representada pela matriz

T_{2\times 2} = \begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & -3/2 \end{bmatrix}

qual é a figura transformada do polígono representado pela matriz F_{2\times 6} dada anteriormente?

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

A matriz T age em cada vértice (x, y), que é uma coluna de F. O produto dá:

\begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & -3/2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \tfrac{3}{2}x \\ -\tfrac{3}{2}y \end{bmatrix}

Ou seja, a abscissa é multiplicada por 3/2 (dilatação) e a ordenada por -3/2 (dilatação com reflexão em relação ao eixo x).

Aplicando em cada vértice:

(0, 2) \to (0, -3)
(2, 6) \to (3, -9)
(6, 4) \to (9, -6)
(6, -2) \to (9, 3)
(4, -4) \to (6, 6)
(2, -2) \to (3, 3)

O conjunto de vértices é (0,-3), (3,-9), (9,-6), (9,3), (6,6) e (3,3). Esse é exatamente o polígono da alternativa E: a figura original foi ampliada e refletida, com o vértice mais alto antes ((2,6)) indo para baixo.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem inverte o sinal das duas coordenadas, ou seja, faz também a reflexão em x, esquecendo que o 3/2 do primeiro elemento da diagonal é positivo.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATroca o sinal da abscissa e multiplica a ordenada por 3/2 sem inverter corretamente, gerando uma figura refletida no eixo y (coordenadas (-9,6) etc.).
BParece resultar de rotação/outra transformação; não corresponde a (3x/2,\,-3y/2), pois o vértice (3,0) não aparece no resultado.
CReflete a figura nos dois eixos (sinal negativo também em x), o que seria a matriz com -3/2 na diagonal inteira.
DTem vértices como (-9,3) e (-3,0), que não resultam da transformação; corresponde a outra transformação (reflexão em y com troca de coordenadas).

Assuntos: Matrizes e determinantes, Transformações geométricas e localização.

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Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗