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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (1º semestre) da UFG 2009

1º semestre · Matemática: Progressão geométrica

Quando um objeto, em queda livre, colide com o piso, há uma perda parcial da energia cinética, de modo que sua velocidade escalar, imediatamente antes (v_a) e imediatamente depois (v_d) da colisão, não é a mesma. O coeficiente de restituição é a razão entre essas velocidades e = v_d/v_a e depende do material do objeto e do piso.

Uma bolinha, inicialmente em repouso, cai sob a ação da gravidade de uma altura de 1 m. Ela colide com o piso diversas vezes, retornando, após cada colisão, a uma determinada altura de energia potencial máxima. Desprezando a resistência do ar e considerando e = 0{,}90, a altura máxima h_n que a bolinha atingirá, após colidir com o piso n vezes, formará uma progressão geométrica. Nessas condições, o valor de h_4 será, aproximadamente,

  1. A
    35 cm.
  2. B
    43 cm.
  3. C
    53 cm.
  4. D
    65 cm.
  5. E
    73 cm.
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Resolução comentada

A altura que a bolinha alcança depende da velocidade com que sai do piso. Pela conservação de energia, v^2 = 2gh, ou seja, h é proporcional a v^2.

A cada colisão, a velocidade de saída é e vezes a de chegada. Logo, a altura fica multiplicada por e^2:

\frac{h_{n}}{h_{n-1}} = \frac{v_d^2}{v_a^2} = e^2 = (0{,}90)^2 = 0{,}81

Assim, h_n forma uma PG de razão q = 0{,}81, com h_0 = 1\ \text{m} = 100\ \text{cm} (altura inicial, antes de qualquer colisão).

  1. h_n = h_0 \cdot q^n
  2. h_4 = 100 \cdot (0{,}81)^4 = 100 \cdot (0{,}90)^8
  3. (0{,}81)^2 = 0{,}6561
  4. (0{,}81)^4 = 0{,}6561^2 \approx 0{,}4305
  5. h_4 \approx 100 \cdot 0{,}4305 \approx 43\ \text{cm}

O resultado é cerca de 43 cm.

Alternativa B.

Pegadinha: Usar a razão 0{,}90 em vez de 0{,}81: a altura depende de v^2, então a razão é e^2. Com 0{,}90, h_4 \approx 66 cm, perto da alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa h_5 = 100\cdot(0{,}81)^5 \approx 35 cm, um expoente a mais que o pedido.
  • CUsa h_3 = 100\cdot(0{,}81)^3 \approx 53 cm, um expoente a menos que o pedido.
  • DUsa h_2 = 100\cdot(0{,}81)^2 \approx 65 cm, dois expoentes a menos que o pedido.
  • EUsa h_1 = 100\cdot0{,}81 = 81 cm ou algo próximo, sem chegar à quarta colisão.

Assunto: Progressão geométrica.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗