Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 (1º semestre) da UFG 2009

1º semestre · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Na figura abaixo, a circunferência C_1 tem raio 1 e a circunferência C_2, de centro (2,4), tem raio 2. A reta r forma um ângulo de 30^\circ com o eixo das ordenadas e passa pelo centro das duas circunferências.

Plano cartesiano com eixos x e y, mostrando uma reta r decrescente que forma um ângulo de 30° com o semi-eixo y positivo. A reta passa pelo centro da circunferência C₂ (de coordenadas 2 e 4) e pelo centro da circunferência C₁ (de coordenadas x₀ e y₀). A reta intercepta C₂ no ponto A e C₁ no ponto B.

Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 2, as coordenadas (x_0,y_0) do centro da circunferência C_1 são:

  1. A
    \left(\dfrac{9}{2}, 4-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)
  2. B
    \left(\dfrac{15}{4}, 3-2\sqrt{3}\right)
  3. C
    \left(\dfrac{7}{2}, 4-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)
  4. D
    \left(\dfrac{17}{4}, 5-3\sqrt{3}\right)
  5. E
    \left(\dfrac{19}{4}, 2-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Os centros estão sobre a reta r, então a distância entre eles é a soma de três segmentos: o raio de C_2 (do centro até A), a distância AB e o raio de C_1 (de B até o centro).

  1. Distância entre os centros: d = 2 + 2 + 1 = 5.

  2. A reta forma 30^\circ com o eixo y e desce para a direita. Então, ao andar d sobre ela, o deslocamento horizontal é d\,\sen 30^\circ (para a direita) e o vertical é d\cos 30^\circ (para baixo).

  3. Deslocamento em x: 5\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}, logo x_0 = 2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{2}.

  4. Deslocamento em y: 5\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}, logo y_0 = 4-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.

Conferindo na figura: y_0\approx 4-4{,}33<0, e o centro de C_1 aparece de fato abaixo do eixo x, o que bate.

Assim, (x_0,y_0)=\left(\dfrac{9}{2},\,4-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right).

Alternativa A.

Pegadinha: Trocar seno e cosseno: como o ângulo é medido com o eixo y, o deslocamento horizontal usa \sen30^\circ e o vertical usa \cos30^\circ.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma distância correta entre os centros; as coordenadas não são consistentes com d=5 sobre a reta.
  • CCorresponde a uma distância entre centros de 3, esquecendo parte dos segmentos (raios e AB).
  • DValores sem relação com o deslocamento 5\sen30^\circ e 5\cos30^\circ a partir de (2,4).
  • EMistura valores incoerentes: x_0 e y_0 não saem do mesmo deslocamento sobre a reta.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Trigonometria no triângulo retângulo.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 27 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗