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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 (1º semestre) da UFG 2009

1º semestre · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Leia o texto abaixo.

O bacharel Mestre João, físico e cirurgião de Vossa Alteza, beija vossas reais mãos. Senhor, ontem, segunda-feira, 27 de abril, descemos em terra, eu, o piloto do capitão-mor e o piloto de Sancho Tovar; tomamos a altura meridiana do Sol ao meio-dia e encontramos 56 graus, por onde, de acordo com as regras do astrolábio, julgamo-nos afastados do equador de 17 graus [latitude].

MOURÃO, R. R. F. A astronomia na época dos descobrimentos. Rio de Janeiro: Editora Lacerda, 2000. p.122. (Adaptado).

A citação apresenta um trecho da carta de Mestre João, da armada de Pedro Álvares Cabral, escrita na ocasião da chegada ao Brasil. Para descobrir a latitude do local onde se encontravam, os náuticos fixavam o astrolábio verticalmente no local onde estavam, apontavam-no para o Sol, medindo o ângulo h (altura meridiana do Sol). Depois, consultavam em tabelas de navegação o valor do ângulo d (declinação do Sol) e calculavam a latitude (ângulo \theta), conforme a ilustração a seguir.

Esquema representando a Terra com a Linha do Equador e os polos Norte e Sul. Mostra a incidência de raios solares paralelos em direção ao centro da Terra e à superfície, definindo o ângulo de declinação d e o ângulo de latitude θ a partir do Equador. Na superfície, no local de observação com uma linha vertical perpendicular ao plano tangente, indica-se a medição do ângulo h (altura meridiana do Sol) formado entre a vertical e os raios de Sol.

Segundo os historiadores, o valor tabelado da declinação, que dispunha Mestre João, era d=16^\circ 42'. No entanto, ele não teria usado esse valor, mas sim uma aproximação, resultando na latitude que obteve. Sem utilizar uma aproximação para o ângulo d, Mestre João teria obtido latitude Sul igual a:

  1. A
    18^\circ 58'
  2. B
    18^\circ 18'
  3. C
    17^\circ 58'
  4. D
    17^\circ 38'
  5. E
    17^\circ 18'
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Resolução comentada

Na figura, o raio de Sol que chega ao local é paralelo ao raio que vai ao centro da Terra e forma o ângulo d com o equador. O raio que vai do centro ao local de observação (a linha vertical) forma o ângulo \theta com o equador. Assim, o ângulo entre o raio que liga o centro ao local e a direção do Sol é d - \theta ou d + \theta, conforme a posição.

Como os raios são paralelos, o ângulo entre o raio solar e a vertical do local (h é medido com a horizontal, e o enunciado dá 56°) precisa ser tratado com cuidado. Pelos dados, a altura do Sol é h = 56^\circ. O ângulo entre o raio solar e a vertical é então 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ.

Na figura, pelos ângulos alternos internos (retas paralelas cortadas pela vertical do local), esse ângulo de 34^\circ vale d + \theta. Logo:

  1. d + \theta = 90^\circ - h
  2. \theta = 90^\circ - 56^\circ - d
  3. \theta = 34^\circ - 16^\circ 42'
  4. \theta = 33^\circ 60' - 16^\circ 42' = 17^\circ 18'

Verificação com a aproximação de Mestre João: usando d = 17^\circ, obtém-se \theta = 34^\circ - 17^\circ = 17^\circ, exatamente o valor da carta. Isso confirma a relação usada.

Sem aproximar a declinação, a latitude Sul seria 17^\circ 18'.

Alternativa E.

Pegadinha: A conta com graus e minutos exige "emprestar" 1° (60') de 34°; quem subtrai 42' sem converter erra e cai em alternativas próximas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma d ao complemento de h ou erra a conversão de minutos, chegando a valor acima de 18°.
  • BErro de conversão de graus em minutos (usa 34° − 15°42' ou similar).
  • CSubtrai os minutos sem fazer o empréstimo de 60', errando a conta.
  • DErra a subtração dos minutos na conversão de 34° para 33°60'.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Unidades de medida e conversões.

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Ver como caiu na prova Questão 29 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗