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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 (1º semestre) da UFG 2009

1º semestre · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Um avião, em procedimento de pouso, encontrava-se a 700 m de altitude, no momento em que a linha que liga o trem de pouso ao ponto de toque formava um ângulo \theta com a pista de pouso, conforme a ilustração abaixo.

Esquema ilustrando um triângulo retângulo onde a altura representa a altitude do avião em relação ao solo (ponto P), a hipotenusa é a linha que liga o trem de pouso ao ponto de toque na pista, formando com ela um ângulo $\theta$. O ponto C marca a cabeceira da pista de pouso.

Para a aterrissagem, o piloto programou o ponto de toque do trem de pouso com o solo para 300 m após a cabeceira da pista, indicada por C na figura. Sabendo que \sen(\theta)=0{,}28 e que o ponto P é a projeção vertical do trem de pouso no solo, a distância, em metros, do ponto P ao ponto C corresponde a

  1. A
    1700
  2. B
    2100
  3. C
    2200
  4. D
    2500
  5. E
    2700
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Resolução comentada

O triângulo da figura é retângulo: o cateto vertical é a altitude (700 m), a hipotenusa é a linha do trem de pouso até o ponto de toque e o cateto horizontal vai de P até o ponto de toque.

Como \sen\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} e o cateto oposto a \theta é a altitude, temos:

  1. Hipotenusa: h = \dfrac{700}{0{,}28} = 2500\ \text{m}.
  2. Cateto horizontal, por Pitágoras: x^2 = 2500^2 - 700^2 = 6\,250\,000 - 490\,000 = 5\,760\,000, logo x = 2400\ \text{m}.

(Conferindo: \cos\theta = \sqrt{1-0{,}0784} = 0{,}96 e 2500 \cdot 0{,}96 = 2400.)

  1. O ponto de toque fica 300 m depois da cabeceira C. Então a distância de P até o ponto de toque é a soma de PC com 300 m:
PC + 300 = 2400 \Rightarrow PC = 2100\ \text{m}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma os 300 m a 2400 m, quando o ponto de toque está além de C e os 300 m devem ser subtraídos; a D engana quem para na hipotenusa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum passo correto de cálculo.
  • CNão corresponde ao cálculo correto; 2200 não resulta de nenhuma etapa do problema.
  • DÉ o valor da hipotenusa (700/0,28), não da distância horizontal PC.
  • ESoma os 300 m ao cateto horizontal (2400) em vez de subtraí-los.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗