Questão 25 (1º semestre) da UFG 2009

Question

Para transmitir dados via satélite, dentre outros processos da área de telecomunicações, utiliza-se atualmente o Código de Hamming. Ele pode garantir que, por meio de um canal de comunicação, uma mensagem chegue ao seu destinatário sem erros, sem ruídos, ou com possibilidade de correção.

Ao transmitir uma mensagem, usa-se um Código de Hamming de redundância r=n-k, sendo k um parâmetro. Para detectar um erro na transmissão, efetua-se a operação matricial H \times v^t, na qual H é uma matriz de ordem r \times n, o comprimento do código é n=2^r-1 e, neste caso, v^t é uma matriz coluna, transposta da matriz v, que representa a mensagem enviada. A transmissão será bem-sucedida se essa multiplicação resultar em uma matriz nula.

Com base nestas informações, um código de redundância r=3 pode detectar erros de transmissão de mensagens cuja matriz v é, necessariamente, uma matriz

A
linha, de ordem 1 \times 7
B
coluna, de ordem 3 \times 1
C
linha, de ordem 1 \times 3
D
identidade, de ordem 3 \times 3
E
nula, de ordem 3 \times 7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 (1º semestre) da UFG 2009

1º semestre · Matemática: Matrizes e determinantes

Para transmitir dados via satélite, dentre outros processos da área de telecomunicações, utiliza-se atualmente o Código de Hamming. Ele pode garantir que, por meio de um canal de comunicação, uma mensagem chegue ao seu destinatário sem erros, sem ruídos, ou com possibilidade de correção.

Ao transmitir uma mensagem, usa-se um Código de Hamming de redundância r=n-k, sendo k um parâmetro. Para detectar um erro na transmissão, efetua-se a operação matricial H \times v^t, na qual H é uma matriz de ordem r \times n, o comprimento do código é n=2^r-1 e, neste caso, v^t é uma matriz coluna, transposta da matriz v, que representa a mensagem enviada. A transmissão será bem-sucedida se essa multiplicação resultar em uma matriz nula.

Com base nestas informações, um código de redundância r=3 pode detectar erros de transmissão de mensagens cuja matriz v é, necessariamente, uma matriz

A
linha, de ordem 1 \times 7
B
coluna, de ordem 3 \times 1
C
linha, de ordem 1 \times 3
D
identidade, de ordem 3 \times 3
E
nula, de ordem 3 \times 7

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O código tem redundância r=3, então o comprimento é n=2^3-1=7.

A matriz de verificação H tem ordem r\times n = 3\times 7.

Para existir o produto H\times v^t, o número de colunas de H deve ser igual ao número de linhas de v^t:

H é 3\times 7, com 7 colunas.
Logo v^t precisa ter 7 linhas. Como é matriz coluna, sua ordem é 7\times 1.
A transposta de v^t é v, que então tem ordem 1\times 7, ou seja, é uma matriz linha com 7 elementos.

Conferindo: H_{3\times 7}\times v^t_{7\times 1} resulta em uma matriz 3\times 1, que pode ser nula, e isso indica transmissão sem erro.

Assim, v é necessariamente uma matriz linha de ordem 1\times 7.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUma matriz coluna 3\times 1 não pode ser multiplicada por H de ordem 3\times 7, e v é matriz linha.
CConfunde n com r: 1\times 3 daria v^t com 3 linhas, incompatível com as 7 colunas de H.
DUma matriz 3\times 3 não é linha e seu transposto não tem 7 linhas, então o produto não existe.
EUma matriz 3\times 7 transposta fica 7\times 3, que não é coluna; além disso a mensagem não é necessariamente nula.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Questão 25 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 1º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗